\input style \chapnotrue\chapno=3\subchno=3\subsubchno=3 неошыек юен~$(a+6)/m$. Фпюопе ъобюеойе нпцоп ьжжелфйчоп чщюйумйфш у рпнпэша чщтбцеойс~(17), йурпмшъхс меннщ~B й~C. \proofend Йъ уппфопыеойс~(40) чщфелбаф оелпфптще ъбумхцйчбаэйе хрпнйобойс умедуфчйс. Чп-ретчщи, поп дплбъщчбеф, юфп обдп йъвезбфш нбмщи ъобюеойк~$a$. У дтхзпк уфптпощ, впмшыйе ъобюеойс~$a$ еэе ое збтбофйтхаф фпзп, юфп лпттемсгйс вхдеф нбмб, лбл вщмп рплбъбоп ч ртйнете~1; пыйвлб чщтбцеойс~(40) нпцеф дпуфйзбфш~$a/m$, й фпздб ртй впмшыйи ъобюеойси~$a/m$ ртйвмйцеойе уфбопчйфус рмпийн. Еумй~$a\approx\sqrt{m}$, ъобюеойс лпьжжйгйеофб рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй пзтбойюеощ чемйюйопк~$2/\sqrt{m}$. Уппфопыеойе~(40) рпнпзбеф й ртй чщвпте ъобюеойс~$c$. Дп уйи рпт нщ ъобмй пфопуйфемшоп~$c$ фпмшлп пдоп: юйумб~$c$ й~$m$ дпмцощ вщфш, чъбйноп ртпуфщнй. Еумй, лтпне фпзп, $$ \eqalign{ {c\over m} \approx {1\over 2}-{1\over 6}\sqrt{3}&\approx 0.21132\,48654\,051871 \approx \cr &\approx {\it (0.15414\,54272\,33746\,34354\,55716)}_8, \cr } \eqno(41) $$ лпьжжйгйеоф рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй вхдеф оевпмшыйн, фбл лбл лптой хтбчоеойс~$1-6x+6x^2=0$ тбчощ~${1\over 2}\pm{1\over 6}\sqrt{3}$. Ьфйн лтйфетйен нпцоп рпмшъпчбфшус, еумй пфухфуфчхаф дтхзйе уппвтбцеойс пфопуйфемшоп чщвптб~$c$. Дп уйи рпт теюш ымб п лпттемсгйй нецдх~$X_n$ й~$X_{n+1}$. Цембфемшоп фблце йнефш ойълха лпттемсгйа нецдх~$X_n$ й~$X_{n+2}$, й чппвэе вщмп вщ оермпип, еумй вщ лпттемсгйс нецдх~$X_n$ й~$X_{n+t}$ вщмб ойълпк, улбцен, дмс~$1\le t \le 10$. Тбоее вщмп рплбъбоп (ун.\ жптнхмх~(3.2.1-6)), юфп $$ X_{n+t}=(a_t X_n+c_t) \bmod m, \eqno(42) $$ зде $$ a_t=a^t \bmod m, \qquad c_t=(a^t-1)c/(a-1)\bmod m. \eqno(43) $$ \emph{У рпнпэша рпдчедеоощи чщые жптнхм нпцоп чщюйумйфш лпьжжйгйеоф лпттемсгйй нецдх~$X_n$ й~$X_{n+t}$, еумй чнеуфп~$a$ й~$c$ рпдуфбчйфш~$a_t$ й~$c_t$.} Лпоеюоп, $c_t$ хце ое вхдеф хдпчмефчптсфш хумпчйа~(41), оп у ьфйн ртйдефус унйтйфшус. Ртйвмйцеоопе чщтбцеойе~(40) чретчще рпмхюйм Т.~Лпчьа ({\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 72--74) ч теъхмшфбфе хутедоеойс рп чуен \emph{декуфчйфемшощн юйумбн}~$x$ нецдх~$0$ й~$m$, б ое фпмшлп рп гемщн ъобюеойсн (ун.~хрт.~21). Нефпдщ, рпъчпмсаэйе рпмхюйфш фпюощк теъхмшфбф, вщмй рпъдоее тбъчйфщ Н.~Зтйоветзетпн ({\sl Math. Comp.,\/} {\bf 15} (1961), 383--389) й В.~Соуупопн ({\sl BIT,\/} {\bf 4} (1964), 6--27). Ч йи жптнхмби ухннщ Деделйодб ое йурпмшъпчбмйуш. Соуупо упуфбчйм фбвмйгщ дмс лпьжжйгйеофб рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй, оп, л упцбмеойа, по тбуунбфтйчбм умйылпн ртпуфще нопцйфемй, %%102 рпмшъпчбфшус лпфптщнй ое телпнеодхефус. По рплбъбм обртйнет, юфп лпьжжйгйеоф лпттемсгйй нецдх~$X_n$ й~$X_{n+t}$ неошые~$0.000003$ дмс дбфюйлб у~$m=2^{35}$, $a=2^{24}+5$, $c=1$ ртй чуеи~$t\le 2500$. У рпнпэша урелфтбмшопзп феуфб (ун.~р.~3.3.4) нпцоп рплбъбфш, юфп рпмшъпчбфшус ьфйн дбфюйлпн ое умедхеф; фен ое неоее теъхмшфбф Соуупоб---иптпыее учйдефемшуфчп фпзп, юфп х чщвтбоопзп обхзбд дбфюйлб, пуопчбоопзп об мйоекопн лпозтхьофопн нефпде й пвмбдбаэезп чщуплпк нпэопуфша, нпцоп пцйдбфш ойълха рпумедпчбфемшоха лпттемсгйа. [\emph{Ъбнеюбойе.} Соуупо фблце рпмхюйм жптнхмщ дмс лпьжжйгйеофб рпумедпчбфемшопк лпттемсгйй ч рпумедпчбфемшопуфси у~$c=0$ й нопцйфемен, пвеуреюйчбаэйн нблуйнбмшощк ретйпд ртй~$m=2^e$. Ьфй теъхмшфбфщ ч ухэопуфй бобмпзйюощ тбуунпфтеоощн ч ьфпк лойзе; ун.~хрт.~3.2.1 2-9.] Ухннщ Деделйодб~$\sigma(h, k, c)$ й ъблпо чъбйнопуфй (дмс юбуфопзп умхюбс~$c=0$) вщмй чретчще тбуунпфтеощ Т.~Деделйодпн ч~1892~з.\ ч езп тбвпфе, рпучсэеоопк ьммйрфйюеулйн жхолгйсн. Ьфб жхолгйс йурпмшъпчбмбуш нопзйнй бчфптбнй; урйупл мйфетбфхтщ рп дбоопнх чпртпух нпцоп обкфй ч тбвпфби Х.~Дйфетб [{\sl Journal f\"ur die reine und angewandte Mathematik,\/} {\bf 201} (1959), 37--70], б фблце З.~Тбденбиетб й~Ь.~Хбкфньоб [{\sl American Journal of Mathematics,\/} {\bf 63} (1941), 377--407]. Еэе оеулпмшлп \emph{бртйптощи} феуфпч вхдеф прйубоп ч хртбцоеойси л ьфпнх тбъдемх. Змбчощк чщчпд, лпфптщк умедхеф йъ ойи, ъблмаюбефус ч умедхаэен: \emph{нопцйфемш ч мйоекопн лпозтхьофопн нефпде дпмцео вщфш дпуфбфпюоп чемйл.} Ун. фблце хрт.~3.3.4-7, зде ртйчпдйфус дбмшоекыее тбъчйфйе фептенщ~P. \excercises (РЕТЧБС ЮБУФШ) \ex[Н07] Пв®суойфе, рпюенх чщтбцеойе~(7) тбчоп юйумх ъобюеойк~$x$, дмс лпфптщи~$s(x)U_{n+1}>\cdots>U_{n+t-1}$ ч фпюопуфй тбчоб $$ {1\over t!}\left(1+{1\over a}\right)\ldots\left(1+{t-2\over a}\right). $$ Лблпчб утедосс дмйоб хвщчбаэезп тсдб юйуем, обюйобаэезпус уп умхюбкоп чщвтбоопзп нецдх охмен й едйойгек юйумб~$U_n$? \rex[M25] Рхуфш~$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$---декуфчйфемшоще юйумб, ртйюен~$0\le\alpha<\beta\le1$, $0\le \gamma<\delta\le 1$. Лблпчб четпсфопуфш фпзп, юфп~$\alpha\le x < \beta$ й~$\gamma\le s(x)<\delta$, еумй чщрпмоеощ ртедрпмпцеойс хрт.~22? (Ьфп бобмпз хрт.~19 дмс декуфчйфемшощи юйуем.) \ex[M21] Тбуунпфтйн дбфюйл, пуопчбоощк об нефпде Жйвпобююй у~$U_{n+1}=\{U_n+U_{n-1}\}$. Ртедрпмбзбс, юфп~$U_1$ й~$U_2$ чщвйтбафус оеъбчйуйнп умхюбкощн пвтбъпн нецдх охмен й едйойгек, обкдйфе четпсфопуфш фпзп, юфп~$U_1U_1<\ldotsU_{k+1}$. Утбчойфе теъхмшфбф у уппфчефуфчхаэйнй четпсфопуфснй дмс умхюбкопк рпумедпчбфемшопуфй. \rex[M35] Дмс мйоекопзп лпозтхьофопзп дбфюйлб нпэопуфй~$2$ чщрпмосефус хумпчйе~$X_{n-1}-2X_n+X_{n+1}\equiv (a-1)c \pmod{m}$ (ун.~жптнхмх~(3.2.1.3-5)). Тбуунпфтйфе дбфюйл, лпфптщк счмсефус оертетщчощн бобмпзпн, рпмпцйч~$U_{n+1}=\{\alpha+2U_n-U_{n-1}\}$. Фбл це лбл ч хрт.~26, тбъдемйфе едйойюощк лчбдтбф %% 105 об юбуфй, дплбъщчбаэйе чпънпцоще уппфопыеойс нецдх~$U_{n-1}$, $U_n$й~$U_{n+1}$ дмс лбцдпк рбтщ~$(U_{n-1}, U_n)$. Ухэеуфчхеф мй ъобюеойе~$\alpha$, ртй лпфптпн лбцдпе йъ ыеуфй чпънпцощи уппфопыеойк нецдх ьфйнй юйумбнй пухэеуфчмсефус у четпсфопуфша~$1/6$, еумй~$U_{n-1}$ й~$U_n$ чщвйтбафус умхюбкоп ч едйойюопн лчбдтбфе? \subsubchap{Урелфтбмшощк феуф} % 3.3.4 Чбцощк феуф дмс ртпчетлй умхюбкопуфй рпмхюеоощи об ЬЧН юйумпчщи рпумедпчбфемшопуфек ужптнхмйтпчбмй ч 1965~з.\ Т.~Лпчьа й~Т.~Нблжетупо. Ьфпф феуф ъбнеюбфемео фен, юфп чуе йъчеуфоще рмпийе дбфюйлй, пуопчбооще об мйоекопн лпозтхьофопн нефпде, вщмй йн \emph{ъбвтблпчбощ,} ч фп чтенс, лбл чуе иптпыйе дбфюйлй ртпымй хдпчмефчптйфемшоп! Веъхумпчоп, ьфп обйвпмее упчетыеоощк йъ йнеаэйиус феуфпч, ч учсъй у юен по ъбумхцйчбеф пупвпзп чойнбойс. Урелфтбмшощк феуф пвмбдбеф учпкуфчбнй лбл "ьнрйтйюеулйи", фбл й "фептефйюеулйи" феуфпч, тбуунпфтеоощи ч ртедщдхэйи тбъдемби. Лбл й ч фептефйюеулйи феуфби, ч оен тбуунбфтйчбафус чемйюйощ, хутедоеооще рп чуенх ретйпдх. У дтхзпк уфптпощ, дмс рпмхюеойс теъхмшфбфпч йурщфбойк фтевхафус нбыйооще тбуюефщ, юфп дембеф езп рпипцйн об ьнрйтйюеулйе феуфщ. Пвпуопчбойе ьфпзп феуфб фтевхеф йурпмшъпчбойс нбфенбфйлй ч ъобюйфемшощи дпъби. Юйфбфема веъ пупвпк улмпоопуфй л нбфенбфйле телпнеодхефус ретекфй ртснп л рпдрхолфх~D дбоопзп рхолфб, зде ртйчпдйфус прйубойе чрпмое лполтефопзп урелфтбмшопзп феуфб. \section{A.~Фептйс, мецбэбс ч пуопче феуфб}. Нбфенбфйюеулйн пвпуопчбойен урелфтбмшопзп феуфб умхцйф "лпоеюопе ртепвтбъпчбойе Жхтше" жхолгйй, пртедемеоопк об лпоеюопн нопцеуфче. Пдопнетощк умхюбк лпоеюопзп ртепвтбъпчбойс Жхтше хце йурпмшъпчбмус ч ртедщдхэен тбъдеме ртй дплбъбфемшуфче меннщ~3.3.3~B; тбуунпфтйн феретш феиойлх ртепвтбъпчбойс Жхтше ч пвэен умхюбе. Дмс мавпк ртйойнбаэек лпнрмелуоще ъобюеойс жхолгйй~$F(t_1, t_2,~\ldots, t_n)$, пртедемеоопк дмс чуеи лпнвйобгйк гемщи юйуем~$t_k$, зде~$0\le t_k < m$ ртй~$1\le k \le n$, ччеден \dfn{ртепвтбъпчбойе Жхтше} $$ f(s_1, s_2, \ldots, s_n)= \sum_{0\le t_1,\ldots, t_n2425$. Нйойнбмшопе оеохмечпе ъобюеойе~$s_1^2+s_2^2+s_3^2+s_4^2$, дмс лпфптпзп $$ s_1+3141592621s_2+3141592621^2s_3+3141592621^3s_4 \equiv 0 \pmod{10^{10}}, $$ йнееф неуфп ртй~$s_1=52$, $s_2=-203$, $s_3=-54$, $s_4=125$, фбл юфп $$ \nu_4=\sqrt{62454} \approx 249.9. $$ Фтевпчбойе оеъбчйуйнпуфй \emph{юефчетпл} рпойцбеф фпюопуфш дп 8~дчпйюощи ъоблпч (дмс впмшыйоуфчб ртймпцеойк ьфпзп чрпмое дпуфбфпюоп). Ъобюеойс~$\nu_n$ дмс~$n=5$, $6$,~\dots{} неоее чбцощ, фбл лбл чтсд мй оеъбчйуйнпуфш рсфетпл чуездб декуфчйфемшоп оепвипдйнб. Обртйнет, ртй ртпчетле уетйк (ун.~р.~3.3.2) тедлп хюйфщчбафус дбце юефчетлй. (Ртй тбуунпфтеойй утедойи рп чуенх ретйпдх, лбл ч обыен умхюбе, умедхеф упвмадбфш пуфптпцопуфш, рпьфпнх ртеоевтезбфш юефчетлбнй ч урелфтбмшопн феуфе ое уфпйф; пдоблп тбуртедемеойе %% 111 рсфетпл чтсд мй нпцеф рпобдпвйфшус, чп чуслпн умхюбе ртй~$m<2^{40}$.) Дмс тбуунбфтйчбенпзп дбфюйлб~$s_1=-8$, $s_2=-14$, $s_3=6$, $s_4=-18$, $s_5=34$ й $$ \eqalign{ \nu_5 &= \sqrt{1776} \approx 42.2, \cr \nu_6&=\sqrt{542}\approx 23.3.\cr } $$ Фбл лбл ойлфп ое ъобеф, лблпчщ обймхюыйе дпуфйцйнще ъобюеойс~$\nu_n$, фтхдоп фпюоп пртедемйфш, лблйе ъобюеойс~$\nu_n$ нпцоп уюйфбфш хдпчмефчптйфемшощнй. Ртедуфбчмсефус тбъхнощн йурпмшъпчбфш ч лбюеуфче нетщ умхюбкопуфй пв®ен ьммйрупйдб ч $n\hbox{-нетопн}$ ртпуфтбоуфче, пртедемеоопзп уппфопыеойен~$(x_1 m-x_2a-x_3a^2-\cdots-x_na^{n-1})^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le \nu_n^2$, фбл лбл ьфпф пв®ен ртпрптгйпобмео четпсфопуфй рпрбдбойс ч ьммйрупйд фпюел~$(x_1, x_2,~\ldots, x_n)$---\emph{гемпюйумеоощи} теыеойк хтбчоеойк~(11). Фблйн пвтбъпн, дмс пртедемеойс ьжжелфйчопуфй нопцйфемс~$a$ ч мйоекопк лпозтхьофопк рпумедпчбфемшопуфй у нблуйнбмшощн ретйпдпн нщ ртедмбзбен чщюйумсфш чемйюйох $$ C_n={\pi^{n/2}\nu_n^n \over (n/2)!m}. \eqno(15) $$ $\bigl($~Ч ьфпк жптнхме $$ \left({n\over 2}\right)!=\left({n\over2}\right) \left({n\over2}-1\right) \ldots \left({1\over2}\right)\sqrt{\pi} \rem{дмс оеюефощи~$n$.}\bigr) \eqno(16) $$ Фблйн пвтбъпн, $$ C_1=2\nu_1/m, \quad C_2=\pi\nu_2^2/m, \quad C_3={4\over3}\pi_3^3/m, C_4={1\over2}\pi^2\nu_4^4/m \rem{й ф. д.} $$ Впмшыйе ъобюеойс~$C_n$ уппфчефуфчхаф умхюбкопуфй, нбмще---пфухфуфчйа умхюбкопуфй. Ч фбвм.~1 ртедуфбчмеощ ъобюеойс дмс оелпфптщи фйрйюощи рпумедпчбфемшопуфек ($C_1$ чуездб тбчоп~$2$). Дбфюйлй, ртедуфбчмеооще ч уфтплби~1--4 ьфпк фбвмйгщ, вщмй хце тбуунпфтеощ ч р.~3.3.1 (ун.~тйу.~2 й~5). Х дбфюйлпч~1 й~2 умйылпн нбм нопцйфемш. Пюеош рмпипк дбфюйл~3 дбеф иптпыее ъобюеойе~$C_2$, оп пюеош рмпийе~$C_3$ й~$C_4$; дмс оезп~$\nu_3=6$ й~$\nu_4=2$. Х дбфюйлб~4 "умхюбкощк" нопцйфемш; ьфпф дбфюйл хуреыоп ртпыем йурщфбойс у йурпмшъпчбойен ьнрйтйюеулйи феуфпч, оп ъобюеойс~$C_2$, $C_3$ й~$C_4$ х оезп ое пюеош чемйлй. Дбфюйл~7 нщ фпмшлп юфп тбуунбфтйчбмй; тсдпн у ойн ртедуфбчмеощ дбфюйлй у вмйълйнй рбтбнефтбнй. Пфнефйн, юфп нопцйфемш~$3141592221$ ртйчпдйф л бопнбмшоп ойълпнх ъобюеойа~$C_3$ (ун.~уфтплх~5), пдоблп ртй фпн це ъобюеойй~$a$ у~$m=2^{35}$ (ун. \ уфтплх~9) рпмхюбафус иптпыйе теъхмшфбфщ. %% 112 \htable{Фбвмйгб 1}% {Оелпфптще теъхмшфбфщ, рпмхюеооще ртй рпнпэй урелфтбмшопзп феуфб}% {\hfil$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\hfil\cr Уфтплб & a & m & C_2 & C_3 & C_4 \cr \noalign{\hrule} 1 & 23 & 10^8+1 & 0.000017 & 0.00051 & 0.014 \cr 2 & 2^7+1 & 2^{35} & 0.000002 & 0.00026 & 0.040 \cr 3 & 2^{18}+1 & 2^{35} & 3.14 & 0.000000002 & 0.000000003 \cr 4 & 3141592653 & 2^{35} & 0.27 & 0.13 & 0.11 \cr 5 & 3141592221 & 10^{10} & 1.35 & 0.06 & 4.67 \cr 6 & 3141592421 & 10^{10} & 2.69 & 0.35 & 0.54 \cr 7 & 3141592621 & 10^{10} & 1.44 & 0.43 & 1.91 \cr 8 & 3141592821 & 10^{10} & 0.16 & 2.90 & 0.34 \cr 9 & 3141592221 & 2^{35} & 1.24 & 1.69 & 1.11 \cr 10 & 3141592621 & 2^{35} & 3.02 & 0.17 & 1.25 \cr 11 & 2718281821 & 2^{35} & 2.59 & 1.15 & 1.75 \cr 12 & 2^{23}+2^{12}+5 & 2^{35} & 0.015 & 2.78 & 0.066 \cr 13 & 2^{23}+2^{13}+5 & 2^{35} & 0.015 & 1.48 & 0.066 \cr 14 & 2^{23}+2^{14}+5 & 2^{35} & 1.12 & 1.66 & 0.066 \cr 15 & 2^{22}+2^{13}+5 & 2^{35} & 0.75 & 0.30 & 0.066 \cr 16 & 2^{24}+2^{13}+5 & 2^{35} & 0.0008 & 2.92 & 0.066 \cr 17 & 5^{13} & 2^{35} & 3.03 & 0.61 & 1.84 \cr 18 & 5^{15} & 2^{35} & 2.02 & 4.12 & 4.04 \cr & \hbox{\emph{Четиосс зтбойгб упзмбуоп}~(13):} \span & 3.63 & 5.90 & 9.86 \cr } Х дбфюйлпч~12--16 ч дчпйюопн ртедуфбчмеойй~$a$ чуезп рп 4~едйойгщ; ртйенменщн нпцоп уюйфбфш фпмшлп дбфюйл~14, оп й х оезп рпдпътйфемшоп ойълпе ъобюеойе~$C_4$. Рп уфтбоопнх упчрбдеойа чуе ьфй 5~дбфюйлпч дбаф пдйоблпчпе ъобюеойе~$C_4$; впмее фпзп, чп чуеи умхюбси~$s_1=-125$, $s_2=75$, $s_3=15$, $s_4=1$! Лхтшеъощн счмсефус фблце обмйюйе х дбфюйлб~16 чщуплпзп ъобюеойс~$C_3$ ртй ойълпн~$C_2$; ч ьфпн умхюбе~$\nu_2=\nu_3$, фбл лбл нйойнхн ртй~$n=3$ дпуфйзбефус ртй~$s_1=-2043$, $s_2=2047$, $s_3=0$. Ч дбфюйлби~17 й~18 йурпмшъпчбощ нопцйфемй, лпфптще йофеоуйчоп ртйнеосмйуш у феи рпт, лбл йи ртедмпцймб П.~Фбхуулй ч обюбме 50-и зпдпч. Рп умхюбкопнх упчрбдеойа обйвпмее рпрхмстощк нопцйфемш~$5^{15}$ дбеф обймхюыйе теъхмшфбфщ йъ чуеи умхюбеч, рплбъбоощи ч фбвм.~1. Теъхмшфбфщ, ртйчедеооще ч фбвм.~1, й рпумедхаэйк прщф тбвпфщ у нопзйнй йъ ртедуфбчмеоощи ъдеуш дбфюйлпч рпъчпмсаф улбъбфш, юфп нопцйфемш~$a$ \emph{хуреыоп ртпыем урелфтбмшощк феуф}, еумй лбцдпе йъ~$C_2$, $C_3$ й~$C_4\ge 0.1$; еумй чуе пой впмшые (ймй тбчощ) едйойгщ, фп нпцоп уюйфбфш, юфп урелфтбмшощк феуф ртпкдео у вмеулпн. Ртецде юен телпнеодпчбфш дбфюйл дмс пвэезп рпмшъпчбойс, нпцоп чщюйумйфш фблце~$C_5$, $C_6$ й~ф.~д. Дмс фпзп юфпвщ хведйфшус, юфп нпдхмш~$m$ дпуфбфпюоп чемйл дмс пвеуреюеойс %% 113 фтевхенпк фпюопуфй умхюбкощи юйуем, обдп бобмйъйтпчбфш ъобюеойс~$\nu_2$, $\nu_3$ й~$\nu_4$; ртй нбмщи~$m$ хдпчмефчптйфемшоще теъхмшфбфщ, рпмхюеооще у рпнпэша урелфтбмшопзп феуфб, еэе ое збтбофйтхаф ртйзпдопуфй дбфюйлб дмс тбуюефпч нефпдпн Нпофе-Лбтмп у чщуплйн тбътеыеойен. \section{C.~Чщчпд чщюйумйфемшопзп нефпдб}. Ртйчедеооще ртйнетщ йммауфтйтхаф урпупвщ ртйнеоеойс урелфтбмшопзп феуфб. Пдоблп ч обыйи тбуухцдеойси пуфбефус, лпоеюоп, ухэеуфчеоощк ртпвем: ухэеуфчхеф мй ипфш лблбс-ойвхдш чпънпцопуфш пртедемйфш ъобюеойе~$\nu_n$, ъбфтбюйчбс ое умйылпн нопзп нбыйоопзп чтенеой? Лбл, обртйнет, нпцоп чщсуойфш, юфп йнеооп ъобюеойсн~$s_1=227$, $s_2=983$ й~$s_3=130$ уппфчефуфчхеф нйойнхн ухннщ~$s_1^2+s_2^2+s_3^2$ ртй упвмадеойй хумпчйс~$s_1+3141592621s_2+3141592621^2s_3\equiv 0 \pmod{10^{10}}$? Пюечйдоп, юфп п ртпуфпн ретевпте ое нпцеф вщфш й теюй. Рпрщфбенус пфщулбфш рпдипдсэйк чщюйумйфемшощк нефпд дмс теыеойс ьфпк ъбдбюй. Ртецде чуезп ретекден пф фпмшлп юфп ртйчедеоопк жптнхмйтпчлй, прйтбаэекус об жптнхмщ~(11) й~(12), л умедхаэек ьлчйчбмеофопк ъбдбюе: пртедемйфш нйойнхн ухннщ $$ (x_1m-ax_2-a^2x_3-\cdots-a^{n-1}x_n)^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2 \eqno(17) $$ ртй гемщи ъобюеойси~$x_1$, $x_2$,~\dots, $x_n$, йъ лпфптщи ипфс вщ пдоп ое тбчоп охма. Вхдеф йофетеуоп й, четпсфоп, рпмеъоее тбътбвпфбфш юйумеоощк нефпд теыеойс впмее пвэек ъбдбюй: \emph{пртедемйфш нйойнхн ухннщ $$ (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2+\cdots+(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)^2 \eqno(18) $$ ртй гемщи ъобюеойси~$x_1$,~\dots, $x_n$, йъ лпфптщи ипфс вщ пдоп ое тбчоп охма,} й ртй хумпчйй, юфп нбфтйгб лпьжжйгйеофпч~$A=(a_{ij})$ ое чщтпцдеоб. Чщтбцеойе~(18) объщчбефус "рпмпцйфемшоп пртедемеоопк лчбдтбфйюопк жптнпк". Ч дбмшоекыен вхлчбнй~$x$, $y$,~\dots{} вхдхф пвпъобюбфшус челфпт-уфпмвгщ $$ \pmatrix{ x_1\cr x_2\cr \vdots\cr x_n\cr }, \pmatrix{ y_1\cr y_2\cr \vdots\cr y_n\cr }, \ldots $$ "Улбмстопе ртпйъчедеойе" $x\cdot y = x_1 y_1+\cdots+x_ny_n$ нпцеф вщфш ъбрйубоп ч нбфтйюощи пвпъобюеойси лбл~$x^Ty$, зде $T$~пвпъобюбеф ъбнеох уфпмвгпч об уфтплй, й обпвптпф (фтбоурпойтпчбойе). Дмс хдпвуфчб ччеден умедхаэйе пртедемеойс: $$ Q=A^TA, \quad B=A^{-1}, \quad R=Q^{-1}=BB^T. \eqno(19) $$ %% 113 Рхуфш $A_j$~пвпъобюбеф $j\hbox{-к}$~\emph{уфпмвег} нбфтйгщ~$A$, б~$B_i$---$i\hbox{-а}$~\emph{уфтплх} нбфтйгщ~$B$. Фпздб йнеен $$ B_i\cdot A_j=\delta_{ij}, \quad Q_{ij}=A_i\cdot A_j, \quad R_{ij}=B_i\cdot B_j. \eqno (20) $$ Обыб ъбдбюб упуфпйф ч фпн, юфпвщ нйойнйъйтпчбфш~(18), ф.~е.\ нйойнйъйтпчбфш~$(Ax)\cdot(Ax)=x^TA^TAx=x^TQx$ дмс гемщи челфптпч~$x\ne0$. Ртецде чуезп удембен ъбдбюх лпоеюопк, ф.~е.\ рплбцен, юфп ое обдп ретевйтбфш чуе веулпоеюопе нопцеуфчп челфптпч~$x$, юфпвщ обкфй нйойнхн. Рхуфш~$e_k$---челфпт, $k\hbox{-с}$~лпнрпоеофб лпфптпзп тбчоб~$1$, б пуфбмшоще охма. Фпздб $$ x_k = e_k^T x = e_k^T B Ax = (B^T e_k)\cdot(Ax) = B_k\cdot (Ax) $$ й, упзмбуоп оетбчеоуфчх Ычбтгб, $$ (B_k\cdot (Ax))^2 \le (B_k\cdot B_k) ((Ax)\cdot(Ax))=R_{kk}(x^TQx). $$ Умедпчбфемшоп, еумй~$x$---оеохмечпк челфпт, нйойнйъйтхаэйк~$x^T Qx$, фп $$ x_k^2\le R_{kk}(x^T Qx) \le R_{kk}(e_j^T Qe_j)=R_{kk}Q_{jj}, \rem{$1\le j$, $k\le n$.} \eqno(21) $$ Ьфп пъобюбеф, юфп юйумп челфптпч~$x$, лпфптще обдп тбуунпфтефш ртй рпйуле нйойнхнб, пзтбойюеоп. Об убнпн деме нщ рпмхюймй умедхаэйк впмее пвэйк теъхмшфбф. \proclaim Меннб~A. Еумй $$ x=\pmatrix{ x_1\cr \vdots\cr x_n\cr } $$ ---оеохмечпк гемпюйумеоощк челфпт у нйойнбмшощн ъобюеойен~$x^TQx$, a~$q$---ъобюеойе~$y^TQ$ дмс оелпфптпзп оеохмечпзп гемпюйумеоопзп челфптб~$y$, фп $$ x_k^2\le R_{kk}q. \endmark \eqno(22) $$ Пюечйдоп, юфп ртбчбс юбуфш~(22) нпцеф вщфш чуе еэе умйылпн впмшыпк, юфпвщ ртпуфпк ретевпт вщм ртблфйюеулй пухэеуфчйн, фбл юфп фтевхефус ртпйъчеуфй дбмшоекыйе хупчетыеоуфчпчбойс. Пвтбфйнус л пдопнх йъ обйвпмее ртпуфщи й ыйтплп тбуртпуфтбоеоощи ч нбфенбфйле ртйенпч---нефпдх ъбнеощ ретенеоощи. Тбуунпфтйн рпдуфбопчлх чйдб $$ y=Ux, \eqno(23) $$ зде~$U$---гемпюйумеообс нбфтйгб, пртедемйфемш лпфптпк~$\det U=\pm 1$. Ьфп пъобюбеф, юфп еумй~$x$---челфпт-уфпмвег, упуфпсэйк йъ гемщи юйуем, фп фблпч це й~$y$, й пвтбфоп, еумй челфпт~$y$ ъбдбо, фп~$x$ нпцоп пртедемйфш йъ уппфопыеойс~$x=U^{-1}y$. (Ьменеофщ нбфтйгщ~$U^{-1}$ %% 115 вхдхф гемщнй, фбл лбл поб тбчоб~$\adj (U)/\det(U)$.) Умедпчбфемшоп, еумй ч лбюеуфче~$x$ ретевтбфш чуе гемпюйумеооще челфптщ, фп ьфп це нопцеуфчп ъобюеойк ртпвецйф й~$y=Ux$, й пвтбфоп; дбмее, $y=0$ фпмшлп ртй~$x=0$. Рпьфпнх нпцоп ретекфй пф ъбдбюй п нйойнйъбгйй~$(Ax)\cdot(Ax)$ дмс гемщи~$x\ne0$ л ьлчйчбмеофопк ъбдбюе п обипцдеойй нйойнхнб~$(AU^{-1}y)\cdot(AU^{-1}y)$ дмс гемщи~$y\ne0$. \proclaim Меннб~B. Рхуфш~$U$---мавбс гемпюйумеообс нбфтйгб у~$\det U=\pm1$, й рхуфш $$ A'=AU^{-1}, \quad B'=Ub, \quad Q'=(U^{-1})^T QU^{-1}, \quad R'=URU^T. \eqno(24) $$ Ъбдбюб нйойнйъбгйй, пртедемеообс нбфтйгбнй~$A'$, $B'$, $Q'$, $R'$, йнееф фп це убнпе теыеойе, юфп й ъбдбюб, пртедемеообс нбфтйгбнй~$A$, $B$, $Q$, $R$.\endmark Феретш нпцоп пртедемйфш ьжжелфйчощк урпупв чщюйумеойс нйойнбмшопзп ъобюеойс умедхаэйн пвтбъпн: ретекфй пф йуипдопк ъбдбюй л дтхзпк у рпнпэша рпдипдсэек нбфтйгщ~$U$ й рпчфптсфш ьфп дп феи рпт, рплб ое рпмхюйфус ъбдбюб, дмс лпфптпк оетбчеоуфчп ч менне~A рпъчпмсеф ртпйъчеуфй рпмощк ретевпт ое умйылпн дптпзпк геопк. Дпуфбфпюоп ртпуфпк й ртйзпдопк дмс обыйи гемек нбфтйгек, пртедемйфемш лпфптпк тбчео~$1$, нпцеф умхцйфш нбфтйгб $$ \eqalign{ U&=\pmatrix{ 1 \cr & \ddots \cr & & 1 \cr c_1 & \ldots & c_{k-1} & 1 & c_{k+1} & \ldots & c_n \cr & & & & 1 \cr & & & & & \ddots \cr & & & & & & 1 \cr } \cr U^{-1}&=\pmatrix{ 1 \cr & \ddots \cr & & 1 \cr -c_1 & \ldots & -c_{k-1} & 1 & -c_{k+1} & \ldots & -c_n \cr & & & & 1 \cr & & & & & \ddots \cr & & & & & & 1 \cr } \cr } \eqno(25) $$ зде~$c_1$,~\dots, $c_n$---мавще гемще ъобюеойс, $k$---жйлуйтпчбоопе гемпе юйумп. Чуе ьменеофщ нбфтйг, лтпне хлбъбоощи, тбчощ охма. Ч ьфпн умхюбе уппфопыеойе~$y=Ux$ пъобюбеф ртпуфп, юфп~$y_j=x_j$ дмс~$j\ne k$ й~$y_k=x_k+\sum_{j\ne k} c_j x_j$; веъхумпчоп, ьфп обйвпмее еуфеуфчеоощк урпупв рпдуфбопчлй. Чщюйумйфш ртпйъчедеойс, ретеюйумеооще %%116 ч~(24), ч ьфпн умхюбе пюеош мезлп: $$ \eqalignter{ A'_j&=A_j-c_jA_k & \rem{дмс~$j\ne k$, $A_k'=A_k$;}\cr B'_j&=B_j & \rem{дмс~$j\ne k$, $B'_k=B_k+\sum_{j\ne k} c_j B_j$.}\cr } \eqno(26) $$ Феретш охцоп рпдпвтбфш рпдипдсэйе гемще ъобюеойс~$k$ й~$c_j$. Ртй мавщи~$c_j$ й гемщи~$k$ нбфтйгб~$U$ ч~(25) ч ртйогйре счмсефус чрпмое ртйенменщн ртепвтбъпчбойен. Ч уппфчефуфчйй у~(21) цембфемшоп чщвтбфш гемще юйумб~$c_1$,~\dots, $c_{k-1}$, $c_{k+1}$,~\dots, $c_n$ фбл, юфпвщ \emph{дйбзпобмшоще ьменеофщ} лбл нбфтйгщ~$Q'$, фбл й~$R'$ вщмй лбл нпцоп неошые. Ч учсъй у ьфйн еуфеуфчеооп чпъойлбаф дчб умедхаэйи чпртпуб: \medskip \item{a)}\emph{Лбл мхюые чуезп чщвтбфш декуфчйфемшоще юйумб~$c_j$ ртй~$j\ne k$, юфпвщ нйойнйъйтпчбфш ъобюеойс дйбзпобмшощи ьменеофпч нбфтйгщ~$Q'=(U^{-1})^T Q U^{-1}$?} \item{b)}\emph{Лбл мхюые чуезп чщвтбфш декуфчйфемшоще юйумб~$c_j$ ртй~$j\ne k$, юфпвщ нйойнйъйтпчбфш ъобюеойс дйбзпобмшощи ьменеофпч нбфтйгщ~$R'=URU^T$?} \medskip Ч умхюбе~(a) дйбзпобмшоще ьменеофщ нбфтйгщ~$Q'$, тбчоще~$A'_j\cdot A'_j$ упзмбуоп~(20), вхдхф йънеоеощ ртепвтбъпчбойен~$U$ ртй чуеи~$j\ne k$. Мезлп чйдефш, юфп нйойнхн чщтбцеойс $$ \eqalign{ (A_j-c_jA_k)\cdot(A_j-c_jA_k)&=Q_{jj}-2c_jQ_{jk}+c_j^2Q_{kk}=\cr &=Q_{kk}(c_j-Q_{jk}/Q_{kk})^2+Q_{jj}-Q_{jk}^2/Q_{kk}\cr } $$ дпуфйзбефус ртй $$ c_j=Q_{jk}/Q_{kk}. \eqno(27) $$ Зепнефтйюеулй (тйу.~8) ъбдбюб ъблмаюбефус ч фблпн чщвпте лпьжжйгйеофб ртй челфпте~$A_k$, юфпвщ ртй чщюйфбойй~$c_jA_k$ йъ челфптб~$A_j$ теъхмшфйтхаэйк челфпт~$A'_j$ йнем нйойнбмшоха дмйох. Дмс ьфпзп обдп чщвтбфш фблпе~$c_j$, юфпвщ $A'_j$~вщмп ретреодйлхмстоп л~$A_k$ (ф.~е.~$A'_j\cdot A'_k=Q'_{jk}=0$), б ьфп дпуфйзбефус у рпнпэша~(27). Ч умхюбе~(b) дйбзпобмшоще ьменеофщ нбфтйг~$R'$ й~$R$ упчрбдбаф, лтпне~$R'_{kk}=B'_k\cdot B'_k$. Ъдеуш обн обдп чщвтбфш~$c_j$ фбл, юфпвщ \picture{Тйу. 8. Зепнефтйюеулбс йофетртефбгйс чщчпдб жптнхмщ (27).} %% 117 челфпт~$B_k+\sum_{j\ne k} c_jB_j$ йнем нйойнбмшоха дмйох. Зепнефтйюеулй ьфп пъобюбеф, юфп нщ дпвбчмсен л челфптх~$B_k$ оелпфптщк челфпт, мецбэйк ч $(n-1)\hbox{-нетопк}$ зйретрмпулпуфй, пртедемсенпк челфптбнй~$\{\,B_j \mid j\ne k\,\}$. Фбл це, лбл ч умхюбе, рплбъбоопн об тйу.~8, нйойнхн дпуфйзбефус, лпздб $B'_k$~ретреодйлхмстео зйретрмпулпуфй, $B'_k$~ретреодйлхмстео чуен~$B'_j$ ртй~$j\ne k$. Фблйн пвтбъпн, оепвипдйнп теыйфш уйуфенх хтбчоеойк~$B'_kB'_j=0$, ф.~е. $$ R_{kj}+\sum_{i\ne k} c_i R_{ij}=0, \rem{$1\le j \le n$, $j \ne k$.} \eqno(28) $$ Уфтпзпе дплбъбфемшуфчп фпзп, юфп ъбдбюб~(b) учпдйфус л теыеойа хтбчоеойк~(28), тбуунпфтеоп ч хрт.~12. Феретш, лпздб пве ъбдбюй~(a) й~(b) теыеощ, нщ ртевщчбен ч оелпфптпн оедпхнеойй: чщвйтбфш мй ъобюеойс~$c$ ч уппфчефуфчйй у~(27), юфпвщ нйойнйъйтпчбфш дйбзпобмшоще ьменеофщ нбфтйгщ~$Q'$, ймй ч уппфчефуфчйй у~(28), юфпвщ нйойнйъйтпчбфш дйбзпобмшоще ьменеофщ~$R'$? Ч пвпйи умхюбси ртбчбс юбуфш~(21) хфпюосефус, рпьфпнх оесуоп, лблпк чбтйбоф ртедрпюфйфемшоее. Л уюбуфша, пфчеф ютеъчщюбкоп ртпуф: хумпчйс~(27) й~(28) упчетыеооп пдйоблпчщ! Тбчеоуфчп~$R'=(Q')^{-1}$ пъобюбеф, юфп оедйбзпобмшоще ьменеофщ ч $k\hbox{-к}$~уфтпле й $k\hbox{-н}$~уфпмвге~$Q'$ тбчощ охма фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб тбчощ охма оедйбзпобмшоще ьменеофщ ч $k\hbox{-к}$~уфтпле й~$k\hbox{-н}$~уфпмвге нбфтйгщ~$R'$. Рпьфпнх х ъбдбю~(a) й~(b) пдоп й фп це теыеойе. Ч теъхмшфбфе плбъщчбефус, юфп нпцоп удембфш нйойнбмшощнй пдопчтенеооп дйбзпобмшоще ьменеофщ~$Q$ й~$R$. (Ъбнефйн, юфп нщ фпмшлп юфп пфлтщмй ъбопчп фбл объщчбенщк "ртпгеуу птфпзпобмйъбгйй Ынйдфб".) Лпоеюоп, об убнпн деме хумпчйс~(a) й~(b) чщрпмосафус ртй оегемщи ъобюеойси~$c_j$, б нщ нпцен йурпмшъпчбфш ч нбфтйге~$U$ фпмшлп гемще ъобюеойс. Ртй ьфпн удембфш~$A'_j$ ч фпюопуфй ретреодйлхмстощн~$A'_k$ оечпънпцоп. Еумй, пдоблп, чщвтбфш ч лбюеуфче~$c_j$ \emph{вмйцбкыйе л~$Q_{jk}/Q_{kk}$ гемще юйумб,} фп ьфп вхдеф обймхюыйн гемщн теыеойен ъбдбюй~(a) й вмйълйн л (оп \emph{ое} чуездб тбчощн) обймхюыенх теыеойа ъбдбюй~(b). Ртпйъчпдс ртепвтбъпчбойс чйдб~(25) ртй тбъощи~$k$ й ртй~$c_j$, тбчощи вмйцбкыенх гемпнх л~$Q_{jk}/Q_{kk}$, нпцоп пцйдбфш, юфп рпуфереооп четиосс зтбойгб, пртедемсенбс чщтбцеойен~(21), урхуфйфус дп хтпчос, ртй лпфптпн чпънпцео рпмощк ретевпт. Об ьфпн ртедрпмпцеойй пуопчбо ртйчедеоощк ойце бмзптйфн. Ртй обрйубойй обуфпсэек змбчщ бчфпт ртпчем оеулпмшлп упфео нбыйоощи тбуюефпч рп ьфпнх бмзптйфнх, ртйюен уипдйнпуфш плбъщчбмбуш зптбъдп впмее вщуфтпк, юен пцйдбмпуш. Дпуфбфпюоп вщмп ртйнеойфш ртепвтбъпчбойе~(25) чуезп 21~тбъ, юфпвщ ч чбтйбофби у~$n=6$ й у пзтпнощнй ъобюеойснй ьменеофпч нбфтйг~$Q$ й~$R$ пуфбчбмпуш неоее 500~умхюбеч дмс ртснпзп ретевптб. Ч теъхмшфбфе тбуюефщ об ЬЧН ъбойнбмй чуезп оеулпмшлп уелход. %% 118 \section{D.~Тебмйъбгйс урелфтбмшопзп феуфб}. Ртйчеден чщюйумйфемшоха ртпгедхтх, чщфелбаэха йъ чуезп улбъбоопзп чщые. \alg S.(Урелфтбмшощк феуф.) Урелфтбмшощк феуф ртйнеосефус дмс пгеолй чщвптб нопцйфемс~$a$ ч мйоекопк лпозтхьофопк рпумедпчбфемшопуфй у нблуйнбмшощн ретйпдпн. (Чпртпу п тбуртпуфтбоеойй ьфпзп феуфб об дтхзйе мйоекоще лпозтхьофоще рпумедпчбфемшопуфй тбуунпфтео ч хрт.~20 й~21.) Лтпне ъобюеойс~$a$ ъбдбефус фблце нпдхмш~$m$. Феуф ртпчетсеф уфбфйуфйюеулха оеъбчйуйнпуфш рпумедпчбфемшощи пфтеълпч йъ $n$~юйуем. Юбэе чуезп феуф ртйнеосефус ртй~$n=2$, $3$, $4$ й йопздб ртй оеулпмшлп впмшыйи ъобюеойси~$n$. Ч бмзптйфне ртедрпмбзбефус, юфп об чипде ъбдбощ~$a$, $m$ й~$n$; чщюйумсефус~$q=\nu_n^2$ (ун.~(12)). Йурпмшъхафус $n\times n\hbox{-нбфтйгщ}$~$Q$ й~$R$ й чурпнпзбфемшоще $n\hbox{-нетоще}$ челфптщ~$X$ й~$c$. Чуе претбгйй у гемщнй юйумбнй дпмцощ ртпйъчпдйфшус фпюоп; дмс ьфпзп нпцеф рпфтевпчбфшус ртйчмеюеойе претбгйк у рпчщыеоопк фпюопуфша. Впмее рпдтпвоп ьфпф чпртпу вхдеф тбуунпфтео ойце. \st[Обюбмшобс хуфбопчлб.] Хуфбопчйфш~$X[1]\asg1$, $X[k+1]\asg (aX[k])\bmod m$ дмс~$1\le k < n$. Еумй лблпе-мйвп~$X[k]$ впмшые~$m/2$, хуфбопчйфш~$X[k]\asg X[k]-m$. Ъбфен ужптнйтпчбфш нбфтйгщ $$ \eqalign{ Q&=\pmatrix{ m^2 & -m X_2 & -m X_3 & \ldots & -m X_n \cr -m X_2 & 1+X_2^2 & X_2 X_3 & \ldots & X_2 X_n \cr -m X_3 & X_2 X_3 & 1+X_3^2 & \ldots & X_3 X_n \cr \vdots & & & & \vdots \cr -m X_n & X_2 X_n & X_3 X_n & \ldots & 1+X_n^2 \cr },\cr R&=\pmatrix{ \sum X_j^2 & m X_2 & m X_3 & \ldots & m X_n \cr m X_2 & m^2 & 0 & \ldots & 0 \cr m X_3 & 0 & m^2 & \ldots & 0 \cr \vdots & & & & \vdots \cr mX_n & 0 & 0 & \ldots & m^2 \cr }.\cr } \eqno(29) $$ Дмс ьфпзп хуфбопчйфш~$Q[1, 1]\asg m^2$, $R[1, 1]\asg \sum_{1\le j \le n} X[j]^2$; дмс~$1c[k]$, ретекфй об~\stp{9}. \st[Ретекфй л умедхаэенх~$k$.] Хуфбопчйфш~$k\asg k+1$. Еумй~$k\le n$, хуфбопчйфш~$X[k]\asg -c[k]$ й рпчфптйфш ыбз~\stp{8}. Еумй~$k>n$, хуфбопчйфш~$q'\asg \sum_{1\le i \le n} \sum_{1\le j \le n} X[i]X[j]Q[i,j]$, й, еумй~$q'n$, ретекфй об~S6". Пдоблп, чпънпцоп, юфп ьфп ртйчедеф л пюеош дмйоопнх ретевптх об ыбзби~S6--S9, лбл рплбъбоп ч хрт.~18. Ч фблпк уйфхбгйй ъобюйфемшощнй ртейнхэеуфчбнй пвмбдбаф ртйенщ, лпфптще пвухцдбафус ч хрт.~22 й~23. Бмзптйфн ъбгйлмйчбефус ртй~$n=2$, $a=1025$, $m=2^{46}$, ипфс рпдпвобс оехдбюб вщчбеф тедлп. Ч пдопн йъ ртпуюйфбоощи бчфптпн умхюбеч ртй~$n=6$ "пцйдбенбс дмйоб ретевптб"~$\prod (2c_j+1)$ об ыбзе~S3 ртйойнбмб рпумедпчбфемшоп умедхаэйе ъобюеойс: $$ \eqalign{ &1\times 10^{43}, 6\times 10^{42}, 2\times 10^{42}, 9\times 10^{41}, 2\times 10^{41}, 6\times 10^{33}, 4\times 10^{33},\cr &1\times 10^{29}, 1\times 10^{20}, 6\times 10^{19}, 4\times 10^{18}, 9\times 10^{12}, 4\times 10^{10}, 3\times 10^{8},\cr &1\times 10^8, 8\times 10^7, 1\times 10^7, 7\times 10^6, 1.7\times 10^7, 1.8\times 10^7, 7\times 10^5,\cr &1\times 10^5, 5\times 10^4, 3825, 3825, 675.\cr } $$ Фблйн пвтбъпн, ьфб чемйюйоб хнеошыбефус пф~$10^{43}$ дп ъобюеойс ойце~$1000$, ртйюен ое нпопфпооп: дчбцдщ ъобюеойе \emph{хчемйюйчбефус.} Четпсфоп, дбмшоекыйе йфетбгйй еэе впмшые уойъсф ъобюеойе~$675$, фбл юфп, рп-чйдйнпнх, лпоуфбофх~$1000$ ч ыбзе~S3 умедхеф хнеошыйфш, улбцен, дп~$100$. (\emph{Ъбнеюбойе.} Йуфйоопе юйумп обвптпч~$X[1]$,~\dots, $X[n]$, йурщфбоощи ч рпмопн ретевпте (ыбзй %%121 \bye