\input style

рАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ 1-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ.
зАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ~$k>1$, ТО $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ВСЕГДА $(k-1)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ПОСКОЛЬКУ В СООТНОШЕНИИ~\eqref[5] МОЖНО
ПОЛОЖИТЬ~$u_k=0$ И~$v_k=1$. в ЧАСТНОСТИ, ЛЮБАЯ 4-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ ТАКЖЕ И 3-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ, 2-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ. дЛЯ ЗАДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МОЖНО ПЫТАТЬСЯ
НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ~$k$, ТАКОЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$. эТО ПРИВОДИТ НАС К СЛЕДУЮЩЕМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ.

\proclaim оПРЕДЕЛЕНИЕ~C. пОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАЗЫВАЕТСЯ
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ЕСЛИ ОНА $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, КАКОВО
БЫ НИ БЫЛО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЦЕЛОЕ~$k$.

дО СИХ ПОР МЫ РАССМАТРИВАЛИ "ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА ПОЛУИНТЕРВАЛЕ~$[0, 1)$",
Т.~Е.~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ МЕЖДУ
НУЛЕМ И ЕДИНИЦЕЙ. тЕ ЖЕ РАССУЖДЕНИЯ ПРИЛОЖИМЫ И К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ
ЧИСЕЛ. бУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<X_n>=X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots{}
ЕСТЬ "$b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ", ЕСЛИ КАЖДОЕ ИЗ~$X_n$
ЕСТЬ ОДНО ИЗ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ~$0$, $1$,~\dots, $b-1$. тАКИМ ОБРАЗОМ, 2-ИЧНАЯ
(ДВОИЧНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ.

зАМЕТИМ, ЧТО "$b\hbox{-ИЧНОЕ}$ ЧИСЛО"~$x_1x_2\ldots{}x_k$ ЕСТЬ НЕКОТОРЫЙ
УПОРЯДОЧЕННЫЙ НАБОР $k$~ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ПРИЧЕМ~$0\le x_j < b$, ГДЕ~$1\le j \le k$.

\proclaim оПРЕДЕЛЕНИЕ~D. нАЗОВЕМ $b\hbox{-ИЧНУЮ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ЕСЛИ
\EQ[6]{
\Pr(X_n X_{n+1} \ldots X_{n+k-1}=x_1x_2\ldots x_k)=1/b^k
}
ДЛЯ ВСЕХ $b\hbox{-ИЧНЫХ}$ ЧИСЕЛ~$x_1x_2\ldots{}x_k$.

иЗ ЭТОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЯСНО, ЧТО ЕСЛИ~$U_0$, $U_1$,~\dots{} ЕСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0, 1)$, ТО~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} ЯВЛЯЕТСЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$
$b\hbox{-ИЧНОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ. (в САМОМ ДЕЛЕ, ЕСЛИ
ПОЛОЖИТЬ~$u_j=x_j/b$, $v_j=(x_j+1)/b$, $X_n=\floor{bU_n}$, ТО ФОРМУЛА~\eqref[5]
ПРЕВРАТИТСЯ В~\eqref[6].) бОЛЕЕ ТОГО, ЕСЛИ $b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ОНА ТАКЖЕ $(k-1)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$: ЕСЛИ
СЛОЖИТЬ ВЕРОЯТНОСТИ $b\hbox{-ИЧНЫХ}$ ЧИСЕЛ~$x_1\ldots{}x_{k-1}0$,
$x_1\ldots{}x_{k-1}1$,~\dots, $x_1\ldots{}x_{k-1}(b-1)$, ПОЛУЧИТСЯ
$$
\Pr(X_n \ldots{} X_{n+k-2}=x_1\ldots x_{k-1})=1/b^{k-1}.
$$
(вЕРОЯТНОСТИ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ СОБЫТИЙ АДДИТИВНЫ, СМ.~УПР.~5.) пОЭТОМУ
МОЖНО ГОВОРИТЬ О $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ $b\hbox{-ИЧНОЙ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ОПРЕДЕЛИВ ЕЕ АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ~C.

пРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА В $b\hbox{-ИЧНОЙ}$
СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК $b\hbox{-ИЧНУЮ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
%% 162
тАК, НАПРИМЕР, ЧИСЛО~$\pi$ СООТВЕТСТВУЕТ
ДЕСЯТИЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,\ldots\,$.
пРЕДПОЛАГАЮТ, ЧТО ЭТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, НО
НИКТО ПОКА НЕ СМОГ ДОКАЗАТЬ, ЧТО ОНА ХОТЯ БЫ 1-РАСПРЕДЕЛЕНА.

пОПРОБУЕМ ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ВВЕДЕННЫЕ ПОНЯТИЯ БОЛЕЕ ПОДРОБНО В СЛУЧАЕ,
КОГДА $k$~РАВНО МИЛЛИОНУ. в 1000000-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ДВОИЧНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУДУТ ПОПАДАТЬСЯ ОТРЕЗКИ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ МИЛЛИОНА НУЛЕЙ!
аНАЛОГИЧНО ЭТОМУ, В 1000000-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НА~$[0, 1)$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
БУДУТ ПОПАДАТЬСЯ ОТРЕЗКИ ДЛИНОЙ В МИЛЛИОН, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ЧИСЕЛ, КАЖДОЕ ИЗ
КОТОРЫХ МЕНЬШЕ ПОЛОВИНЫ. пРАВДА, ТАКИЕ ОТРЕЗКИ БУДУТ ПОПАДАТЬСЯ В СРЕДНЕМ
ТОЛЬКО В $(1/2)^{1000000}$~ДОЛЕ СЛУЧАЕВ, НО ВАЖНО ТО, ЧТО ОНИ
\emph{СУЩЕСТВУЮТ.} рАЗУМЕЕТСЯ, ТО ЖЕ САМОЕ МОЖЕТ БЫТЬ И В ЛЮБОЙ ИСТИННО
СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ЕСЛИ ИМЕТЬ В ВИДУ НАШЕ ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ
"ИСТИННО СЛУЧАЙНОГО". лЕГКО СЕБЕ ПРЕДСТАВИТЬ, КАКУЮ РЕАКЦИЮ ВЫЗОВЕТ
ТАКОЙ НАБОР ИЗ МИЛЛИОНА "ИСТИННО СЛУЧАЙНЫХ" ЧИСЕЛ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЙ В
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ; ВОЗНИКНУТ ВЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ДЛЯ ЖАЛОБЫ НА
ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ! с ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ЕСЛИ В
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ НИКОГДА НЕ ПОПАДАЮТСЯ СЕРИИ ИЗ МИЛЛИОНА~$U$,
КАЖДОЕ ИЗ КОТОРЫХ МЕНЬШЕ~$1/2$, ОНА НЕ СЛУЧАЙНА И НЕ БУДЕТ ГОДИТЬСЯ
ДЛЯ ДРУГИХ ТЕОРЕТИЧЕСКИ ВОЗМОЖНЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ, В КОТОРЫХ ВХОДНЫМИ ДАННЫМИ
СЛУЖАТ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ДЛИННЫЕ СЕРИИ~$U$. пОДЫТОЖИВАЯ, МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО В
\emph{ИСТИННО СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДОЛЖНА ПРИСУТСТВОВАТЬ
ЛОКАЛЬНАЯ НЕСЛУЧАЙНОСТЬ.} лОКАЛЬНАЯ НЕСЛУЧАЙНОСТЬ НЕОБХОДИМА В ОДНИХ
ПРИЛОЖЕНИЯХ, НО НЕДОПУСТИМА В ДРУГИХ. мЫ ВЫНУЖДЕНЫ ЗАКЛЮЧИТЬ, ЧТО
\emph{НИ ОДНА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ "СЛУЧАЙНЫХ" ЧИСЕЛ НЕ МОЖЕТ ОТВЕЧАТЬ
ТРЕБОВАНИЯМ, ПРЕДўЯВЛЯЕМЫМ ВСЕМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ.}

тОЧНО ТАК ЖЕ ИМЕЮТСЯ ОСНОВАНИЯ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО МЫ НЕ МОЖЕМ СУДИТЬ О ТОМ,
СЛУЧАЙНА ЛИ \emph{КОНЕЧНАЯ} ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ;
КАЖДАЯ ЗАДАННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НИЧЕМ НЕ ХУЖЕ ЛЮБОЙ ДРУГОЙ. эТИ
СООБРАЖЕНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ КАМНЯМИ ПРЕТКНОВЕНИЯ НА ПУТИ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОСТИ, НО БЕСПОКОИТЬСЯ ПО ЭТОМУ ПОВОДУ ВСЕ-ТАКИ НЕ
СЛЕДУЕТ. мОЖНО ДАТЬ ТАКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОСТИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ЧТО СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ТЕОРИЯ
(НАДЛЕЖАЩИМ ОБРАЗОМ ИНТЕРПРЕТИРОВАННАЯ) БУДЕТ ВЕСЬМА ЭФФЕКТИВНА ПРИ
РАССМОТРЕНИИ ТЕХ ОБЫЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ, КОТОРЫЕ ПОЛУЧАЮТСЯ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ. бОЛЕЕ ТОГО, В ЭТОМ
РАЗДЕЛЕ БУДЕТ ПОКАЗАНО, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ НЕСКОЛЬКО ВНУШАЮЩИХ ДОВЕРИЕ
СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОСТИ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

\section{B. $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ}. иЗЛОЖИМ В
СЖАТОМ ВИДЕ ТЕОРИЮ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
нАМ ПРИДЕТСЯ
%% 163
ПОЛЬЗОВАТЬСЯ НЕКОТОРЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ, ТАК ЧТО ДАЛЕЕ
ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЗНАКОМСТВО ЧИТАТЕЛЯ С МАТЕРИАЛОМ КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

вО-ПЕРВЫХ, ОБОБЩИМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ~A, ПОСКОЛЬКУ ПРЕДЕЛ, ФИГУРИРУЮЩИЙ В ЭТОМ
ОПРЕДЕЛЕНИИ, СУЩЕСТВУЕТ НЕ ДЛЯ ВСЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. вВЕДЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
\EQ[7]{
\Prsup(S(n))=\lim_{n\to\infty} \sup (\nu(n)/n),\quad
\Prsub(S(n))=\lim_{n\to\infty}\inf(\nu(n)/n).
}
тЕПЕРЬ ВЕЛИЧИНА~$\Pr(S(n))$, ЕСЛИ ОНА ИМЕЕТ СМЫСЛ, ЯВЛЯЕТСЯ ОБЩИМ
ЗНАЧЕНИЕМ ВЕЛИЧИН~$\Prsub(S(n))$ И~$\Prsup(S(n))$.

мЫ ВИДЕЛИ, ЧТО ИЗ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ НА~$[0, 1)$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННУЮ}$
$b\hbox{-ИЧНУЮ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ЕСЛИ $U$~ЗАМЕНИТЬ НА~$\floor{bU}$.
нАША ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ТАКЖЕ СПРАВЕДЛИВО.

\proclaim тЕОРЕМА~A. пУСТЬ $\<U_n>=U_0$, $U_1$,
$U_2$,~\dots---ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0, 1)$. еСЛИ
$$
\<\floor{b_jU_n}>=\floor{b_jU_0}, \floor{b_jU_1}, \floor{b_jU_2},~\ldots
$$
ЯВЛЯЕТСЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ $b_j\hbox{-ИЧНОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
ДЛЯ ЛЮБОГО ЦЕЛОГО~$b_j$, ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО БЕСКОНЕЧНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$1<b_1<b_2<b_3<\ldots$, ТО $\<U_n>$~ЕСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.

в КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА ПРИМЕНЕНИЯ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ ПОЛОЖИМ~$b_j=2^j$.
пОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $\floor{2^jU_0}$, $\floor{2^jU_1}$,~\dots{} ЕСТЬ НЕ
ЧТО ИНОЕ, КАК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПЕРВЫХ $j$~БИТОВ ДВОИЧНОГО
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ~$U_0$, $U_1$,~$\ldots\,$. еСЛИ ВСЕ ТАКИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНЫ}$ В СМЫСЛЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ~D, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ~$U_0$, $U_1$,~\dots{}
ДОЛЖНА БЫТЬ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~B.

\proof[ТЕОРЕМЫ~A] еСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ИЗ АДДИТИВНОСТИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛЕДУЕТ, ЧТО СООТНОШЕНИЕ~\eqref[5] СПРАВЕДЛИВО ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО
$u_j$ И~$v_j$ ЯВЛЯЮТСЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ~$b$.
пУСТЬ ТЕПЕРЬ $u_j$, $v_j$---ЛЮБЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, a $u'_j$,
$v'_j$---РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ~$b$, ТАКИЕ, ЧТО
$$
u'_j\le u_j < u'_j+1/b,\quad v'_j \le v_j < v'_j+1/b.
$$
чЕРЕЗ $S(n)$ ОБОЗНАЧИМ СЛЕДУЮЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:
$$
u_1 \le U_n < v_1, \ldots, u_k \le U_{n+k-1} < v_k.
$$
%% 164
мЫ ИМЕЕМ
$$
\eqalign{
\Prsup(S(n))&\le \Pr\left(u'_1 \le U_n < v'_1+{1\over b},~\ldots, u'_k\le
U_{n+k-1} < v'_k+{1\over b}\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1+{1\over b}\right)\ldots\left(v'_k-u'_k+{1\over b}\right);\cr
\Prsub(S(n))&\ge \Pr\left(u'_1+{1\over b}\le U_n < v'_1, \ldots,
u'_k+{1\over b} \le U_{n+k-1} < v'_k\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1-{1\over b}\right)\ldots \left(v'_k-u'_k-{1\over b}\right).\cr
}
$$
зАМЕТИМ, ЧТО~$\abs{(v'_j-u'_j\pm 1/b)-(v_j-u_j)}\le 2/b$. нЕРАВЕНСТВА
СПРАВЕДЛИВЫ ДЛЯ ВСЕХ~$b=b_j$. пРИ~$j\to\infty$ ИМЕЕМ~$b_j\to\infty$ И,
ТАКИМ ОБРАЗОМ,
$$
\eqalign{
(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)&\le \Prsub(S(n))\le \cr
 &\le\Prsup(S(n))\le (v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k).\cr
}
$$
\proofend

сЛЕДУЮЩАЯ ТЕОРЕМА ПОСЛУЖИТ ОСНОВНЫМ ОРУДИЕМ
ИССЛЕДОВАНИЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

\proclaim тЕОРЕМА~B. пУСТЬ $\<U_n>$---$k-\hbox{РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ НА~$[0, 1)$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, И~$f(x_1, x_2,~\dots, x_k)$---ИНТЕГРИРУЕМАЯ В СМЫСЛЕ
рИМАНА ФУНКЦИЯ $k$~ПЕРЕМЕННЫХ; ТОГДА
\EQ[8]{
\lim_{n\to\infty} {1\over n} \sum_{0\le j < n} f(U_j, U_{j+1},~\dots, U_{j+k-1})
 =\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, x_2,~\dots, x_k)\, dx_1\ldots dx_k.
}

\proof иЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛЕДУЕТ, ЧТО ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ СПРАВЕДЛИВ В ЧАСТНОМ
СЛУЧАЕ, КОГДА
\EQ[9]{
 f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
  1, & ЕСЛИ~$u_1\le x_1 < v_1$,~\dots, $u_k\le x_k < v_k$,\cr
  0  & В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ.\cr
 }
}
зНАЧИТ, СООТНОШЕНИЕ~\eqref[8] СПРАВЕДЛИВО, ЕСЛИ~$f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_mf_m$,
ГДЕ $f_j$~ЯВЛЯЮТСЯ ФУНКЦИЯМИ ВИДА~\eqref[9]. дРУГИМИ СЛОВАМИ, СООТНОШЕНИЕ~\eqref[8]
СПРАВЕДЛИВО, ЕСЛИ~$f$---"СТУПЕНЧАТАЯ ФУНКЦИЯ", ПОСТОЯННАЯ ВНУТРИ КАЖДОЙ
ЧАСТИ ЕДИНИЧНОГО $k\hbox{-МЕРНОГО}$ КУБА, ПОЛУЧЕННОЙ РАЗБИЕНИЕМ ЭТОГО КУБА
ПЛОСКОСТЯМИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ.

пУСТЬ ТЕПЕРЬ~$f$---ЛЮБАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ В СМЫСЛЕ рИМАНА ФУНКЦИЯ. мЫ ЗНАЕМ (ИЗ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В СМЫСЛЕ рИМАНА), ЧТО ЕСЛИ~$\varepsilon$---ЛЮБОЕ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, ТО СУЩЕСТВУЮТ СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ~$\fsub$ И~$\fsup$,
ТАКИЕ, ЧТО~$\fsub(x_1,~\ldots, x_k)\le f(x_1,~\ldots, x_k)\le \fsup(x_1,~\ldots, x_k)$,
%% 164
И РАЗНОСТИ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛАМИ ОТ~$\underline{f}$, $f$ И~$\overline{f}$ БУДУТ
МЕНЬШЕ~$\varepsilon$. пОСКОЛЬКУ (8)~СПРАВЕДЛИВО ДЛЯ~$\underline{f}$
И~$\overline{f}$ И
$$
\eqalign{
{1\over n}\sum_{0\le j < n} \underline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n} f(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})\le\cr
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n}\overline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1}),\cr
}
$$
МЫ ПОЛУЧАЕМ, ЧТО (8)~СПРАВЕДЛИВО ТАКЖЕ И ДЛЯ~$f$.
\proofend

в КАЧЕСТВЕ ПЕРВОГО ПРИЛОЖЕНИЯ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ РАССМОТРИМ \emph{ПРОВЕРКУ
ПЕРЕСТАНОВОК,} ОПИСАННУЮ В П.~3.3.2. пУСТЬ $(p_1, p_2,~\ldots, p_k)$ ЕСТЬ
ЛЮБАЯ ПЕРЕСТАНОВКА ЧИСЕЛ~$1$, $2$,~\dots, $k$. мЫ ХОТИМ ПОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ[10]{
\Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\ldots<U_{n+p_k-1})={1\over k!}.
}

дЛЯ ЭТОГО ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_k>$
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, И ПОЛОЖИМ
$$
f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
 1, & ЕСЛИ $x_{p_1}\le x_{p_2}\le\cdots\le x_{p_k}$,\cr
 0  & В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ.\cr
}
$$
иМЕЕМ
$$
\eqalign{
 \Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\cdots<U_{n+p_k-1})&=\cr
  &=\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, \ldots, x_k)\,dx_1 \ldots dx_k\cr
  &=\int_0^1\,dx_{p_k} \int_0^{x_{p_k}} \ldots \int_0^{x_{p_3}}\,dx_{p_2}
    \int_0^{x_{p_2}}\,dx_{p_1}={1\over k!}\cr
}
$$

\proclaim сЛЕДСТВИЕ~P. еСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$
НА~$[0, 1)$, ТО ОНА УДОВЛЕТВОРЯЕТ ПРОВЕРКЕ ПЕРЕСТАНОВОК ПОРЯДКА~$k$ В
СМЫСЛЕ СООТНОШЕНИЯ~\eqref[10].\endmark

мОЖНО ТАКЖЕ ПОКАЗАТЬ, ЧТО ОНА УДОВЛЕТВОРЯЕТ \emph{ТЕСТУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
КОРРЕЛЯЦИИ.}

\proclaim сЛЕДСТВИЕ~S. еСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $(k+1)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$
НА~$[0, 1)$, ТО КОЭФФИЦИЕНТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ~$U_n$
И~$U_{n+k}$ СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ:
$$
\lim_{n\to\infty}{{1\over n}\sum U_jU_{j+k}-\left({1\over n}\sum U_j\right)
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)\over \sqrt{\left({1\over n}\sum U_j^2-
 \left({1\over n}\sum U_j\right)^2\right)\left({1\over n}\sum U_{j+k}^2-
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)^2\right)}}=0.
$$
(дЛЯ ВСЕХ СУММИРОВАНИЙ ЗДЕСЬ~$0\le j < n$.)

%% 166

\proof иЗ ТЕОРЕМЫ~B СЛЕДУЕТ, ЧТО ВЕЛИЧИНЫ
$$
{1\over n}\sum U_jU_{j+k},\quad
{1\over n}\sum U_j^2,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}^2,\quad
{1\over n}\sum U_j,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}
$$
ПРИ~$n\to\infty$ СТРЕМЯТСЯ СООТВЕТСТВЕННО К ПРЕДЕЛАМ~$1/4$, $1/3$, $1/3$,
$1/2$, $1/2$.
\proofend

рАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ НЕКОТОРЫЕ БОЛЕЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. мЫ
ОПРЕДЕЛИЛИ СВОЙСТВО $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ}$ ДЛЯ ВСЕХ ГРУПП ИЗ~$k$
СТОЯЩИХ РЯДОМ ЭЛЕМЕНТОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. нАПРИМЕР, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ЯВЛЯЕТСЯ $\hbox{2-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ТОЧКИ
$$
(U_0, U_1),\quad
(U_1, U_2),\quad
(U_2, U_3),\quad
(U_3, U_4),\quad
(U_4, U_5),\quad\ldots
$$
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ В ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ. оДНАКО ВПОЛНЕ ВОЗМОЖНО, ЧТО
ПАРЫ ТОЧЕК, ВЗЯТЫЕ ЧЕРЕЗ ОДНУ, НЕ БУДУТ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ. пРИ
ЭТОМ НЕДОСТАЧА ТОЧЕК $(U_{2n-1}, U_{2n})$ В НЕКОТОРОЙ ОБЛАСТИ МОЖЕТ
КОМПЕНСИРОВАТЬСЯ ТОЧКАМИ~$(U_{2n}, U_{2n+1})$. яСНО, НАПРИМЕР, ЧТО
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДВОИЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
\EQ[11]{
\<X_n>=0,0,0,1, \; 0,0,0,1,\; 1,1,0,1,\; 1,1,0,1,\; 0,0,0,1,\;\ldots
}
С ПЕРИОДОМ, РАВНЫМ~16, \hbox{3-РАСПРЕДЕЛЕНА}, ОДНАКО В
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ С ЧЕТНЫМИ НОМЕРАМИ $\<X_{2n}>=0$, $0$,
$0$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$,~\dots{} В ТРИ РАЗА БОЛЬШЕ НУЛЕЙ, ЧЕМ ЕДИНИЦ,
В ТО ВРЕМЯ КАК В ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕЧЕТНЫМИ
НОМЕРАМИ $\<X_{2n+1}>=0$, $1$, $0$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$,~\dots{} В ТРИ
РАЗА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦ, ЧЕМ НУЛЕЙ.

иЗ ПРИВЕДЕННОГО ВЫШЕ ПРИМЕРА СЛЕДУЕТ, ЧТО ЕСЛИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ТО СОВСЕМ НЕ
ОЧЕВИДНО, ЧТО ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $\<U_{2n}>=U_0$, $U_2$, $U_4$, $U_6$,~\dots{}
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ИЛИ ДАЖЕ 1-РАСПРЕДЕЛЕНА. мЫ УВИДИМ,
ОДНАКО, ЧТО~$\<U_{2n}>$ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ И ЧТО
СПРАВЕДЛИВО ДАЖЕ БОЛЕЕ СИЛЬНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ.

\proclaim оПРЕДЕЛЕНИЕ~E. гОВОРЯТ, ЧТО
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ $(m, k)\hbox{-pacПРЕДЕЛЕНА}$ НА~$[0, 1)$, ЕСЛИ
$$
\Pr(u_1\le U_{mn+j}<v1, u_2\le U_{mn+j+1}<v_2, \ldots, u_k\le U_{mn+j+k-1}<v_k)=(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)
$$
ПРИ ЛЮБОМ ВЫБОРЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ~$u_r$, $v_r$, ТАКИХ, ЧТО~$0\le
u_r<v_r\le 1$, ПРИ~$1\le r \le k$ И ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ~$j$, ТАКИХ, ЧТО~$0\le j < m$.

в ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ~$m=1$ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~E СЛЕДУЕТ,
ЧТО~$\<U_n>$---$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ; КОГДА~$m=2$,
ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ГРУППЫ ИЗ $k$~ЭЛЕМЕНТОВ, НАЧИНАЮЩИЕСЯ С ЭЛЕМЕНТА С ЧЕТНЫМ
НОМЕРОМ, ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ТАКУЮ ЖЕ ПЛОТНОСТЬ, КАК И НАЧИНАЮЩИЕСЯ С НЕЧЕТНОГО
НОМЕРА, И Т.~Д.

%% 167

нЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ОПРЕДЕЛЕНИЮ~E, ОЧЕВИДНЫ:
$$
\eqalignno{
 &(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ } (m, \kappa)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА ПРИ } 1\le \kappa \le k.  & (12)\cr
 &(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ }(d, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА ДЛЯ ВСЕХ ДЕЛИТЕЛЕЙ~$d$ ЧИСЛА~$m$.} & (13)\cr
}
$$

аНАЛОГИЧНО ТОМУ, КАК ЭТО СДЕЛАНО ВЫШЕ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ~D), МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ
ПОНЯТИЕ $(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ $b\hbox{-ИЧНОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
дОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~A ПРИ ЭТОМ ОСТАЕТСЯ В СИЛЕ И ДЛЯ $(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

иЗ СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЫ, ВО МНОГИХ ОТНОШЕНИЯХ УДИВИТЕЛЬНОЙ, ВЫТЕКАЕТ, ЧТО
СВОЙСТВО $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ}$ ЯВЛЯЕТСЯ ГОРАЗДО БОЛЕЕ СИЛЬНЫМ,
ЧЕМ МЫ МОГЛИ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ВВОДЯ ЭТО ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

\proclaim тЕОРЕМА~C. (а. нИВЕН И X. цУКЕРМАН.)
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ
$(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ДЛЯ ЛЮБЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ~$m$ И~$k$.

\proof дОСТАТОЧНО ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ ДЛЯ $b\hbox{-ИЧНЫХ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, С ПОМОЩЬЮ ТОЛЬКО ЧТО УПОМЯНУТОГО ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ~A.
бОЛЕЕ ТОГО, МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО $m=k$, ПОСКОЛЬКУ, ВСЛЕДСТВИЕ
УТВЕРЖДЕНИЙ~\eqref[12] И~\eqref[13], ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ
$(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ЕСЛИ ОНА $(mk, mk)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$.

тАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ДОКАЖЕМ, ЧТО \emph{ЛЮБАЯ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$
$b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $X_0$, $X_1$,~\dots{}
$(m, m)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ~$m$.} пРИВЕДЕМ
УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ОПУБЛИКОВАННОГО нИВЕНОМ И цУКЕРМАНОМ
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 1} (1951), 103--109).

дОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОСНОВАНО НА ВАЖНОЙ ИДЕЕ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ВО МНОГИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ: "еСЛИ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ $m$~ВЕЛИЧИН И СУММЫ ИХ
КВАДРАТОВ НЕ ПРОТИВОРЕЧАТ ГИПОТЕЗЕ О ТОМ, ЧТО ЭТИ $m$~ВЕЛИЧИН РАВНЫ, ТО
ЭТА ГИПОТЕЗА ВЕРНА". сИЛЬНУЮ ФОРМУ ЭТОГО ПРИНЦИПА ДАЕТ

\proclaim лЕММА~E. пУСТЬ ЗАДАНЫ $m$~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧИСЕЛ
$\<y_{jn}>=y_{j0}$, $y_{j1}$, $y_{j2}$,~\dots, ГДЕ~$1\le j \le m$.
пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО
\EQ[14]{
 \eqalign{
  \lim_{n\to\infty} (y_{1n}+y_{2n}+\cdots+y_{mn}) &= m\alpha,\cr
  \lim_{n\to\infty} \sup (y_{1n}^2+y_{2n}^2+\cdots+y_{mn}^2)&\le m\alpha^2.\cr
 }
}
тОГДА ДЛЯ КАЖДОГО~$j$ СУЩЕСТВУЕТ~$\lim_{n\to\infty} y_{jn}$, И ОН РАВЕН~$\alpha$.

нЕОБЫЧАЙНО ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОЙ ЛЕММЫ ДАНО В УПР.~9.\endmark
%% 168

тЕПЕРЬ ПРОДОЛЖИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~C. пУСТЬ $x=x_1x_2\ldots{}x_m$
ЕСТЬ $b\hbox{-ИЧНОЕ}$ ЧИСЛО. бУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО $x$~\emph{ПОЯВЛЯЕТСЯ} НА
$p\hbox{-М}$~МЕСТЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ЕСЛИ~$X_{p-m+1}X_{p-m+2}\ldots{}X_p=x$. пУСТЬ $\nu_j(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ ЧИСЛО
ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА $p\hbox{-М}$~МЕСТЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО~$p<n$ И~$p\bmod m=j$.
пУСТЬ~$y_{jn}=\nu_j(n)/n$. мЫ ХОТИМ ПОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ[15]{
 \lim_{n\to\infty} y_{jn} = 1/mb^m.
}

пРЕЖДЕ ВСЕГО ЗАМЕТИМ, ЧТО
\EQ[16]{
\lim_{n\to\infty}(y_{0n}+y_{1n}+\cdots+y_{(m-1)n})=1/b^m,
}
ПОСКОЛЬКУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $m\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$. иСПОЛЬЗУЯ ЛЕММУ~E И
СООТНОШЕНИЕ~\eqref[16], МЫ ДОКАЖЕМ ТЕОРЕМУ, ЕСЛИ СУМЕЕМ ПОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ[17]{
 \lim_{n\to\infty} \sup (y_{0n}^2+y_{1n}^2+\cdots+y_{(m-1)n}^2)\le 1/mb^{2m}.
}

эТО НЕРАВЕНСТВО НЕ ОЧЕВИДНО, И, ЧТОБЫ ДОКАЗАТЬ ЕГО СПРАВЕДЛИВОСТЬ,
НЕОБХОДИМО ПРОВЕСТИ ДОВОЛЬНО ТОНКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. пУСТЬ~$q$ КРАТНО~$m$;
РАССМОТРИМ ВЫРАЖЕНИЕ
\EQ[18]{
 C(n)=\sum_{0\le j < m} \perm{\nu_j(n)-\nu_j(n-q)}{2}.
}
эТО ЧИСЛО ПАР ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА МЕСТАХ~$p_1$, $p_2$ ПРИ УСЛОВИИ~$n-q\le p_1 < p_2 < n$
С~$p_2-p_1$, КРАТНЫМ~$m$. тЕПЕРЬ РАССМОТРИМ СУММУ
\EQ[19]{
 S_N=\sum_{1\le n \le N+q} C(n)
}
пРИ ВЫЧИСЛЕНИИ~$S_N$ КАЖДАЯ ПАРА ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА МЕСТАХ~$p_1$, $p_2$ ПРИ
УСЛОВИИ~$p_1<p_2<p_1+q$ С~$p_2-p_1$, КРАТНЫМ~$m$, И С~$p_1\le N$
УЧИТЫВАЕТСЯ~$p_1+q-p_2$ РАЗ (ИМЕННО, КОГДА~$p_2<n\le p_1+q$), И ПАРЫ ТАКИХ
ПОЯВЛЕНИЙ С~$N<p_1<p_2<N+q$ СЧИТАЮТСЯ $N+q-p_2$~РАЗ.

пУСТЬ~$d_t(n)$ ЕСТЬ ЧИСЛО ПАР ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА МЕСТАХ~$p_1$, $p_2$
ПРИ УСЛОВИИ~$p_1+t=p_2<n$. иЗ РАССУЖДЕНИИ, ПРИВЕДЕННЫХ ВЫШЕ, ИМЕЕМ
\EQ[20]{
 \sum_{0<t<q/m} (q-mt)d_{mt}(N+q)\ge S_n \ge \sum_{0<t<q/m}(q-mt)d_{mt}(N).
}
пЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $q\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
\EQ[21]{
 \lim_{N\to\infty}{1\over N}d_{mt}(N)=1/b^{2m}
}
%% 169
ДЛЯ ВСЕХ~$0<t<q/m$, И ПОЭТОМУ ИЗ~\eqref[20] ВЫТЕКАЕТ
\EQ[22]{
 \lim_{N\to\infty}{S_N\over N}=\sum_{0<t<q/m}(q-mt)/b^{2m}=q(q-m)/2mb^{2m}.
}
оТСЮДА, ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, УБЕДИМСЯ В СПРАВЕДЛИВОСТИ ТЕОРЕМЫ.

пО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
$$
2S_N=\sum_{1\le n \le N+q}\sum_{0\le j <m} ((\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2-(\nu_j(n)-\nu_j(n-q))),
$$
И ЕСЛИ МЫ УСТРАНИМ ЧЛЕНЫ, НЕ ВОЗВЕДЕННЫЕ В КВАДРАТ, ТО, ИСПОЛЬЗУЯ~\eqref[16],
ПОЛУЧИМ
\EQ[23]{
 \lim_{N\to\infty}{T_N\over N}=q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m,
}
ГДЕ
$$
T_N=\sum_{1\le n \le N+q} \sum_{0\le j <m} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2.
$$

пО НЕРАВЕНСТВУ
$$
{1\over r}\left(\sum_{1\le j \le r} a_j\right)^2\le \sum_{1\le j \le r} a_j^2
$$
(СР. С УПР.~1.2.3-30) ПОЛУЧАЕМ, ЧТО
\EQ[24]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m}{1\over N(N+q)}
 \left(\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\right)^2\le q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m.
}
иМЕЕМ ТАКЖЕ
$$
q\nu_j(N)\le \sum_{N<n\le N+q} \nu_j(n)=\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\le q\nu_j(N+q)
$$
И, ПОДСТАВЛЯЯ ЭТО В~\eqref[24], ПОЛУЧАЕМ
\EQ[25]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m} (\nu_j(N)/N)^2 \le (q-m)/qmb^{2m}+1/qb^m.
}
мЫ ДОКАЗАЛИ СПРАВЕДЛИВОСТЬ ЭТОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ~$q$, КРАТНОГО~$m$, И
ЕСЛИ ТЕПЕРЬ УСТРЕМИТЬ~$q\to\infty$, ПОЛУЧИМ~\eqref[17], ТЕМ САМЫМ ЗАВЕРШИВ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

вОЗМОЖНО, ЧТО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИВЕДЕННОЕ В СТАТЬЕ дЖ.~кАССЕЛСА
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 2} (1952), 555--557), ПРОЩЕ.
\proofend

нЕТРИВИАЛЬНОСТЬ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ ВИДНА ИЗ УПР.~29 И~30. иЗ НИХ ЖЕ СЛЕДУЕТ ТОТ
ФАКТ, ЧТО, КАК ПОКАЗАНО В~\eqref[25], ВЕРОЯТНОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С
$q\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ, ОТЛИЧАЮТСЯ ОТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
СВЯЗАННЫХ С $(m, m)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, НЕ БОЛЕЕ
%% 170
ЧЕМ НА ВЕЛИЧИНУ ПОРЯДКА~$1/\sqrt{q}$. дЛЯ СПРАВЕДЛИВОСТИ
ТЕОРЕМЫ НЕОБХОДИМО НЕОСЛАБЛЕННОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ О $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ}$.

кАК СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ~C МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ПРОВЕРКЕ
СЕРИЙ, ТЕСТУ "НАИБОЛЬШЕЕ ИЗ~$t$" И ПРОВЕРКЕ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ,
УПОМЯНУТЫМ В П.~3.3.2. нЕТРУДНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО УДОВЛЕТВОРЯЮТСЯ
ТАКЖЕ ПРОВЕРКА ИНТЕРВАЛОВ, ПОКЕР-ТЕСТ (ПРОВЕРКА КОМБИНАЦИЙ) И ПРОВЕРКА НА
МОНОТОННОСТЬ (СМ.\ УПР.~С~12 ПО~14). пРОВЕРИТЬ ТЕСТ СОБИРАТЕЛЯ КУПОНОВ
ТРУДНЕЕ, ОДНАКО ОН ТАКЖЕ УДОВЛЕТВОРЯЕТСЯ (СМ.\  УПР.~15 И~16).

сЛЕДУЮЩАЯ ТЕОРЕМА ГАРАНТИРУЕТ СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОСТЫХ
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

\proclaim тЕОРЕМА~F. (дЖ. фРЭНКЛИН.) пОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $U_0$, $U_1$,~\dots{}
НА~$[0, 1)$, ГДЕ
\EQ[26]{
 U_n=(\theta^n \bmod 1),
}
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ДЛЯ ПОЧТИ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ~$\theta>1$. дРУГИМИ СЛОВАМИ, МНОЖЕСТВО
$$
\{\, \theta \mid \theta>1
\hbox{ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[26] НЕ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$}
\,\}
$$
ИМЕЕТ МЕРУ НУЛЬ.

дОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ И НЕКОТОРЫХ ЕЕ ОБОБЩЕНИЙ ПРИВЕДЕНЫ В
УПОМИНАЕМОЙ НИЖЕ СТАТЬЕ фРЭНКЛИНА.\endmark

фРЭНКЛИН ПОКАЗАЛ, ЧТО ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[26] БЫЛА
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, $\theta$~ДОЛЖНО БЫТЬ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМ
ЧИСЛОМ. хОТЯ ИЗВЕСТНО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[26]
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ДЛЯ \emph{ПОЧТИ ВСЕХ} ЧИСЕЛ~$\theta$, МЫ НЕ
ЗНАЕМ \emph{НИ ОДНОГО} КОНКРЕТНОГО~$\theta$, ДЛЯ КОТОРОГО ЭТО СПРАВЕДЛИВО.
с ПОМОЩЬЮ ТРУДОЕМКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ С МНОГОКРАТНО УВЕЛИЧЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ БЫЛИ
ПОЛУЧЕНЫ СТЕПЕНИ~$(\pi^n \bmod 1)$ ПРИ~$n\le 10\,000$. сТАРШИЕ 35~БИТОВ
КАЖДОГО ИЗ ЭТИХ ЧИСЕЛ БЫЛИ ЗАПИСАНЫ НА ДИСК И УСПЕШНО ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ КАК
ИСТОЧНИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. иНТЕРЕСНО, ЧТО ХОТЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ~F СЛЕДУЕТ, ЧТО
ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СТЕПЕНЕЙ~$(\pi^n \bmod 1)$
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, РАВНА~$1$, ОДНАКО, ПОСКОЛЬКУ МНОЖЕСТВО
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ НЕСЧЕТНО, МЫ НЕ МОЖЕМ ИЗ ЭТОГО ЗАКЛЮЧИТЬ, ЧТО ОНА
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$. мОЖНО БЫТЬ УВЕРЕННЫМ В ТОМ, ЧТО В ТЕЧЕНИЕ
НАШЕЙ ЖИЗНИ НИКТО НЕ \emph{ДОКАЖЕТ,} ЧТО ЭТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
\emph{НЕ} ЯВЛЯЕТСЯ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ОДНАКО, ВОЗМОЖНО, ТАК
ОНО И ЕСТЬ НА САМОМ ДЕЛЕ. в СВЯЗИ С ИЗЛОЖЕННЫМ ВОЗНИКАЕТ ВОПРОС О ТОМ,
СУЩЕСТВУЕТ ЛИ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, КОТОРУЮ
МОЖНО ВЫПИСАТЬ В \emph{ЯВНОМ} ВИДЕ; ИНЫМИ СЛОВАМИ, \emph{СУЩЕСТВУЕТ ЛИ
АЛГОРИТМ, ПО КОТОРОМУ ДЛЯ ВСЕХ~$n\ge 0$ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА~$U_n$, ТАК ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ БУДЕТ
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$?} оКАЗЫВАЕТСЯ, ТАКОЙ АЛГОРИТМ СУЩЕСТВУЕТ,
ЧТО ВИДНО, НАПРИМЕР, ИЗ СТАТЬИ АВТОРА "Construction
%% 171
\bye