\input style ьфп счмеойе вщмп пфнеюеоп бнетйлбоулйн буфтпопнпн Убкнпопн Ошалпнвпн [{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], лпфптщк ртйчем тбъхноще пуопчбойс ч рпмшъх фпзп, юфп зпмпчобс гйжтб~$d$ чуфтеюбефус у четпсфопуфша~$\log_{10}(1+1/d)$. Фпф це убнщк ъблпо тбуртедемеойс нопзп меф урхуфс вщм ьнрйтйюеулй обкдео Ж.~Веожптдпн [{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], лпфптщк ое ъобм п ъбнефле Ошалпнвб. Веожптд теыйм, юфп ьфп чбцощк ъблпо ртйтпдщ, й объчбм езп "ъблпопн бопнбмшощи юйуем". Нщ хчйдйн, юфп ьфпф ъблпо тбуртедемеойс зпмпчощи гйжт счмсефус еуфеуфчеоощн умедуфчйен фпзп урпупвб, ртй рпнпэй лпфптпзп нщ ъбрйущчбен юйумб ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк. Еумй нщ чпъшнен ртпйъчпмшопе рпмпцйфемшопе юйумп~$u$, фп езп зпмпчобс гйжтб пртедемсефус ъобюеойен~$(\log_{10} u) \bmod 1$. Б йнеооп, зпмпчобс гйжтб неошые~$d$ фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб \EQ[1] { (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d, } фбл лбл~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$. Дбмее, еумй х обу еуфш лблпе-мйвп "умхюбкопе" рпмпцйфемшопе юйумп~$U$, чщвйтбенпе ч уппфчефуфчйй у оелпфптщн тбъхнощн тбуртедемеойен, фйрб феи, юфп чуфтеюбафус ч ртйтпде, фп нпцоп пцйдбфш, юфп юйумб~$(\log_{10} U) \bmod 1$ вхдхф тбчопнетоп тбуртедемеощ нецдх охмен й едйойгек ймй рп лтбкоек нете юфп ьфп вхдеф пюеош иптпыее ртйвмйцеойе. (Бобмпзйюощн пвтбъпн нщ пцйдбен, юфп чемйюйощ~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, $\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ й~ф.~д.\ фблце тбчопнетоп тбуртедемеощ. Нщ хчетеощ, юфп лпмеуп тхмефлй веуртйуфтбуфоп рп ухэеуфчх рп ьфпк це убнпк ртйюйое.) Умедпчбфемшоп, ччйдх оетбчеоуфчб~\eqref[1], зпмпчопк гйжтпк вхдеф едйойгб у четпсфопуфша, тбчопк~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, дчпклб у четпсфопуфша, тбчопк~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, й чппвэе еумй~$r$---ртпйъчпмшопе чеэеуфчеоопе юйумп, ъблмаюеоопе нецдх~$1$ й~$10$, фп ртйвмйъйфемшоп ч~$\log_{10} r$ чуеи умхюбеч нщ дпмцощ йнефш оетбчеоуфчп~$10 f_U \le r$. Дтхзпк урпупв пв®суойфш ьфпф ъблпо---ьфп улбъбфш, юфп умхюбкобс чемйюйоб~$U$ дпмцоб рпсчмсфшус ч умхюбкопк фпюле об мпзбтйжнйюеулпк мйоекле (ф.~е.\ юфп чуе рпъйгйй об мпзбтйжнйюеулпк мйоекле тбчопчетпсфощ). Декуфчйфемшоп, тбууфпсойе пф мечпзп лпогб мпзбтйжнйюеулпк мйоеклй дп рпъйгйй, йъпвтбцбаэек юйумп~$U$, ртпрптгйпобмшоп~$(\log_{10} U) \bmod 1$. Ч умхюбе хнопцеойс й демеойс йнеефус феуобс бобмпзйс нецдх чщюйумеойснй, ртпчпдйнщнй ртй рпнпэй мпзбтйжнйюеулпк мйоеклй, й чщюйумеойснй ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк. Фпф жблф, юфп зпмпчоще гйжтщ йнеаф феодеогйа вщфш оевпмшыйнй, умедхеф рпуфпсооп йнефш ч чйдх; йнеооп вмбзпдбтс ьфпнх жблфх ртпуфекыйе нефпдщ пгеолй "утедоек пыйвлй" зпдсфус %% 272 дмс чщюйумеойк у рмбчбаэек фпюлпк. Пфопуйфемшобс пыйвлб пвщюоп плбъщчбефус оеулпмшлп впмшыек, юен пцйдбефус. Тбъхнеефус, нпцоп уртбчедмйчп хфчетцдбфш, юфп ртйчедеооще чщые ьчтйуфйюеулйе дпчпдщ ое дплбъщчбаф ужптнхмйтпчбоопзп ъблпоб. Пой фпмшлп хлбъщчбаф ртбчдпрпдпвоще ртйюйощ фпзп, юфп рпчедеойе зпмпчощи гйжт йнеооп фблпчп, лблпчп поп еуфш об убнпн деме. Дтхзпк рпдипд л бобмйъх зпмпчощи гйжт вщм ртедмпцео Т.~У.~Рйольнпн й~Т.~Иьннйозпн [{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. Рхуфш~$p(r)$---четпсфопуфш фпзп, юфп~$10 f_U \le r$, зде~$1\le r \le 10$, й~$f_U$---оптнбмйъпчбообс дтпвобс юбуфш умхюбкощн пвтбъпн чщвтбоопзп оптнбмйъпчбоопзп юйумб~$U$ у рмбчбаэек фпюлпк. Еумй зпчптйфш п умхюбкощи чемйюйоби ч тебмшопн нйте, фп нщ ъбнеюбен, юфп пой йънетсафус ч ртпйъчпмшощи едйойгби, й еумй вщ нщ йънеоймй, улбцен, пртедемеойе нефтб ймй зтбннб, фп нопзйе вщ йъ жходбнеофбмшощи жйъйюеулйи рпуфпсоощи йнемй вщ дтхзпе ъобюеойе. Ртедрпмпцйн рпьфпнх, юфп чуе-чуе юйумб чп чуемеоопк чоеъброп плбъбмйуш хнопцеоощнй об оелпфптщк рпуфпсоощк нопцйфемш~$c$; обыб чуемеообс умхюбкощи чемйюйо у рмбчбаэек фпюлпк дпмцоб рпуме ьфпзп ртепвтбъпчбойс пуфбфшус рп ухэеуфчх оейънеоопк, фбл юфп четпсфопуфй~$p(r)$ ое дпмцощ йънеойфшус. Хнопцеойе чуеи юйуем об~$c$ ртечтбэбеф~$(\log_{10} U) \bmod 1$ ч~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. Обуфбм нпнеоф чщчеуфй жптнхмщ, прйущчбаэйе йулпнпе тбуртедемеойе; нщ нпцен уюйфбфш, юфп~$1 \le c \le 10$. Рп пртедемеойа \EQ { p(r) = \hbox{четпсфопуфш} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r). } Упзмбуоп обыенх ртедрпмпцеойа, йнеен фблце \EQ{ \eqalignno{ p(r) &= \hbox{четпсфопуфш} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1 \le \log_{10} r) = \cr &= \cases { \hbox{четпсфопуфш} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr \hbox{ймй } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & еумй~$c \le r$, \cr \hbox{четпсфопуфш} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le 1 + \log_{10} r - \log_{10} c), & еумй~$c \ge r$, \cr }\cr &= \cases { p (r/c) + 1 - p(10/c), & еумй~$c \le r$,\cr p(10r/c) - p(10/c), & еумй~$c \ge r$.\cr } & (2) \cr } } Ртпдпмцйн феретш жхолгйа~$p(r)$ чпчое йофетчбмб~$1 \le r \le 10$, рпмпцйч~$p(10^n r) = p(r)+n$; фпздб рпуме ъбнеощ~$10/c$ об~$d$ нщ нпцен ъбрйубфш уппфопыеойе~\eqref[2] ч чйде \EQ[3] { p(rd) = p(r) + p(d). } Еумй обые ртедрпмпцеойе пв йочбтйбофопуфй тбуртедемеойс пфопуйфемшоп хнопцеойс об ртпйъчпмшощк рпуфпсоощк нопцйфемш четоп, фп уппфопыеойе~\eqref[3] дпмцоп чщрпмосфшус дмс чуеи~$r > 0$ %% 273 й~$1 \le d \le 10$. Йъ фпзп юфп~$p(1)=0$, $p(10)=1$, умедхеф, юфп \EQ{ \displaylines{ 1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr } } пфуадб нщ ъблмаюбен, юфп дмс чуеи рпмпцйфемшощи гемщи~$m$ й~$n$ уртбчедмйчп тбчеоуфчп~$p(10^{m/n})=m/n$. Еумй дпрпмойфемшоп рпфтевпчбфш, юфпвщ тбуртедемеойе~$p$ вщмп оертетщчощн, фп нщ ртйипдйн л тбчеоуфчх~$p(r)=\log_{10} r$, б ьфп й еуфш охцощк обн ъблпо. Ипфс ьфп тбуухцдеойе, чпънпцоп, й хведйфемшоее ртедщдхэйи, поп фпце ч декуфчйфемшопуфй ое чщдетцйчбеф уфтпзпк ртпчетлй. Нщ ртедрпмбзбен, юфп ухэеуфчхеф оелпе мецбэее ч пуопче тбуунбфтйчбенпзп счмеойс тбуртедемеойе юйуем~$F(u)$, фблпе, юфп четпсфопуфш фпзп, юфп дбоопе ртпйъчпмшопе юйумп~$U$ ое ртечпуипдйф~$u$, тбчоб~$F(u)$ й юфп \EQ[4] { p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)), } зде ухннйтпчбойе ртпчпдйфус рп чуен ъобюеойсн~$-\infty < m < \infty$. Йъ обыезп тбуухцдеойс чщфелбеф, юфп фпздб \EQ{ p(r) = \log_{10} r. } Йурпмшъхс фе це дпчпдщ, нщ нпцен "дплбъбфш", юфп \EQ[5] { \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r } ртй~$1 \le r \le b$ дмс чуслпзп гемпзп юйумб~$b \ge 2$. Оп жхолгйй тбуртедемеойс~$F$, лпфптбс хдпчмефчптсмб вщ ьфпнх тбчеоуфчх дмс чуеи фблйи~$b$ й~$r$, ое ухэеуфчхеф! "Лблбс-фп ч детцбче дбфулпк зоймш!" Пдйо йъ урпупвпч чщкфй йъ ьфпзп ъбфтхдоеойс упуфпйф ч фпн, юфпвщ тбуунбфтйчбфш мпзбтйжнйюеулйк ъблпо~$p(r) = \log_{10} r$ мйыш лбл пюеош иптпыее \emph{ртйвмйцеойе} л йуфйоопнх тбуртедемеойа. Чпънпцоп, юфп ьфп йуфйоопе тбуртедемеойе ртй тбуыйтеойй Чуемеоопк йънеосефус, уфбопчсуш у феюеойен чтенеой чуе мхюыйн й мхюыйн ртйвмйцеойен; й еумй ъбнеойфш пуопчбойе~$10$ ртпйъчпмшощн пуопчбойен~$b$, обые ртйвмйцеойе фен неоее фпюоп (ч мавпк дбоощк нпнеоф чтенеой), юен впмшые~$b$. Дтхзпк, дпчпмшоп ртйчмелбфемшощк урпупв теыеойс ртпвменщ, учсъбоощк у пфлбъпн пф фтбдйгйпоопзп рпосфйс жхолгйй тбуртедемеойс, ртедмпцео Т.~Б.~Тькнй [{\sl AMM,\/} {\bf 76} (1969), 342--348]. Чйфйечбфще тбуухцдеойс рпумедоезп бвъбгб, рп-чйдйнпнх, ой ч лпек нете оемшъс ртйъобфш хдпчмефчптйфемшощн пв®суоеойен, фбл юфп умедхеф чеушнб рпмпцйфемшоп пфоеуфйуш л ртпчпдйнщн ойце чщюйумеойсн (зде нщ ртйдетцйчбенус уфтпзпзп нбфенбфйюеулпзп лбопоб й йъвезбен йофхйфйчощи, оп рбтбдплубмшощи рпосфйй фептйй четпсфопуфек). Тбуунпфтйн чнеуфп тбуртедемеойс оелпезп чппвтбцбенпзп нопцеуфчб чеэеуфчеоощи юйуем тбуртедемеойе %% 274 уфбтыйи ъобюбэйи гйжт \emph{рпмпцйфемшощи гемщи} юйуем. Йуумедпчбойе ьфпк фенщ ютеъчщюбкоп йофетеуоп, й ое фпмшлп рпфпнх, юфп поп ртпмйчбеф оелпфптщк учеф об тбуртедемеойс четпсфопуфек дмс дбоощи, ртедуфбчмеоощи ч жптне у рмбчбаэек фпюлпк, оп фблце й рпфпнх, юфп поп умхцйф чеушнб рпхюйфемшощн ртйнетпн фпзп, лбл упюефбфш нефпдщ дйултефопк нбфенбфйлй у нефпдбнй бобмйъб. Чп чуеи рпумедхаэйи тбуухцдеойси~$r$ вхдеф пвпъобюбфш жйлуйтпчбоопе чеэеуфчеоопе юйумп, $1 \le r \le 10$; нщ рпрщфбенус дбфш тбъхнопе пртедемеойе~$p(r)$ лбл "четпсфопуфй" фпзп, юфп ртедуфбчмеойе~$10^{e_N} \cdot f_N$ "умхюбкопзп" рпмпцйфемшопзп гемпзп юйумб~$N$ хдпчмефчптсеф оетбчеоуфчх~$10 f_N < r$. Дмс обюбмб рпртпвхен обкфй ьфх четпсфопуфш, йурпмшъхс ртедемшощк ретеипд, бобмпзйюоп фпнх лбл нщ пртедемсмй~"Pr" ч~\S~3.5. Хдпвощк урпупв ретежтбъйтпчбфш ьфп пртедемеойе упуфпйф ч умедхаэен: \EQ[6]{ P_0(n)=\cases{ 1, & еумй~$n=10^e \cdot f$, зде~$10 f < r$, ф.~е.\ еумй~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr 0 & ч ртпфйчопн умхюбе.\cr } } Йфбл, рпумедпчбфемшопуфш $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} еуфш веулпоеюобс рпумедпчбфемшопуфш охмек й едйойг, ртйюен едйойгщ уппфчефуфчхаф умхюбсн, чопусэйн члмбд ч ъобюеойе четпсфопуфй. Нщ нпцен рпрщфбфшус "хутедойфш" ьфх рпумедпчбфемшопуфш, рпмпцйч \EQ[7] { P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k). } Еуфеуфчеооп ртйосфш~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ ч лбюеуфче йулпнпк "четпсфопуфй"~$p(r)$; йнеооп фбл нщ й удембмй ч~\S~3.5. Оп ч дбоопн умхюбе ьфпф ртедем ое ухэеуфчхеф. Тбуунпфтйн, обртйнет, рпдрпумедпчбфемшопуфш \EQ{ P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots, } зде~$s$---оелпфптпе чеэеуфчеоопе юйумп, $1 \le s \le 10$. Еумй~$s \le r$, фп нщ йнеен \EQ { \eqalignno{ P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr %% дпвбчмеоб ртбчбс улпвлб: "\right)", неуфп чуфбчлй улпвлй чщвтбоп веъ дплбъбфемшуфчб &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr } } %% 275 зде ч деусфйюопк ъбрйуй~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. Ртй~$n\to\infty$ жхолгйс~$P_1(10^n s)$ уфтенйфус, фблйн пвтбъпн, л ртедемшопнх ъобюеойа~$1+(r-10)/9s$. Чщюйумеойе, ртпчедеоопе чщые дмс умхюбс~$s \le r$, нпцоп нпдйжйгйтпчбфш фблйн пвтбъпн, юфпвщ поп упитбоймп унщум й ртй~$s > r$; ртй ьфпн $\floor{10^n s}+1$~ъбнеойфус об~$\ceil{10^n r}$, фбл юфп дмс~$s \ge r$ нщ рпмхюйн ртедемшопе ъобюеойе, тбчопе~$10(r-1)/9s$. [Ун.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} (Z\"urich, 1917), 286--295.] Йфбл, рпумедпчбфемшопуфш~$P_1(n)$ упдетцйф рпдрпумедпчбфемшопуфш, ртедем лпфптпк ртй чпътбуфбойй~$s$ пф~$1$ дп~$r$, б ъбфен пф~$r$ дп~$10$ уобюбмб чпътбуфбеф пф~$(r-1)/9$ дп~$10(r-1)/9r$, б ъбфен хвщчбеф уопчб дп~$(r-1)/9$. Пфуадб чйдоп, юфп рпумедпчбфемшопуфш~$P_1(n)$ ое йнееф ртедемб й юфп~$P_1(n)$ ое умйылпн иптпыее ртйвмйцеойе л обыенх ртедрпмбзбенпнх пфчефх~$\log_{10} r$! Фбл лбл~$P_1(n)$ ой л юенх ое уфтенйфус, нпцоп рпрщфбфшус еэе тбъ йурпмшъпчбфш фх це йдеа, юфп й ч~\eqref[7], юфпвщ "хутедоеойен" хуфтбойфш ьфх бопнбмш ч рпчедеойй обыек рпумедпчбфемшопуфй. Чппвэе рпмпцйн \EQ[9] { P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k). } Фпздб $P_{m+1}(n)$~вхдеф ртпсчмсфш феодеогйа л впмее ртбчймшопнх рпчедеойа, оецемй~$P_m(n)$. Рпрщфбенус йъхюйфш рпчедеойе~$P_{m+1}(n)$ дмс впмшыйи~$n$. Прщф, ртйпвтефеоощк обнй ртй тбуунпфтеойй юбуфопзп умхюбс~$m=0$, рпдулбъщчбеф, юфп уфпйф ртйчмеюш л демх рпдрпумедпчбфемшопуфш~$P_{m+1}(10^n s)$. Йнеооп об ьфпн рхфй нщ й дплбцен умедхаэйк теъхмшфбф. \proclaim Меннб~Q. Дмс ртпйъчпмшопзп гемпзп юйумб~$m \ge 1$ й ртпйъчпмшопзп чеэеуфчеоопзп юйумб~$\varepsilon > 0$ обкдхфус фблйе жхолгйй~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ й фблпе гемпе юйумп~$N_m(\varepsilon)$, юфп ртй~$n > N_m(\varepsilon)$ й~$1 \le s \le 10$ чщрпмосафус оетбчеоуфчб \EQ[10] { \displaynarrow{ \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ еумй~$s \le r$,}\cr \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ еумй~$s>r$.}\cr } } Дбмее, жхолгйй~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ хдпчмефчптсаф уппфопыеойсн \EQ[11] { \eqalign{ Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr } } %% 276 \proof Тбуунпфтйн жхолгйй~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, пртедемеооще жптнхмбнй~\eqref[11], й рпмпцйн \EQ[12]{ S_m(t)=\cases{ Q_m(t), & $t \le r$, \cr Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$. \cr } } Дплбцен меннх йодхлгйек рп~$m$. Рхуфш уобюбмб~$m=1$; фпздб~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ й~$R_1(s)=(r-s)/s$. Йъ~\eqref[8] обипдйн, юфп \EQ{ \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n; } ьфп дплбъщчбеф меннх ртй~$m=1$. Ртй~$m > 1$ йнеен \EQ{ P_m(10^n s) = {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) \right). } Нщ ипфйн пгеойфш ьфх чемйюйох. Тбъопуфш \EQ[13]{ \abs{ \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} \left({k \over 10^j}\right) } } неошые~$(q-1)\varepsilon$, лпздб~$1 \le q \le 10$ й~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$, б рпулпмшлх жхолгйс~$S_{m-1}(t)$ оертетщчоб й рпфпнх йофезтйтхенб рп Тйнбох, фп тбъопуфш \EQ[14] { \abs{ \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt } } неошые~$\varepsilon$ дмс чуеи~$j$, впмшыйи оелпфптпзп юйумб~$N$, ое ъбчйусэезп пф~$q$. Нщ нпцен чщвтбфш~$N$ впмшыйн, юен~$N_{m-1}(\varepsilon)$. Умедпчбфемшоп, ртй~$n > N$ тбъопуфш \EQ[15]{ \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)} } пзтбойюеоб чемйюйопк \EQ{ \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N$ тбчопнетоп уипдйфус л рпуфпсоопк жхолгйй~$\log_{10} r$. Йофетеуоп дплбъбфш ьфх зйрпфеъх счощн чщюйумеойен~$Q_m(s)$ й~$R_m(s)$ дмс чуеи~$m$, юфп й дембефус ч дплбъбфемшуфче умедхаэек фептенщ. %% 278 \proclaim Фептенб~F. Дмс чуслпзп~$\varepsilon>0$ обкдефус фблпе юйумп~$N$, юфп \EQ[17]{ \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon } ртй~$m$,~$n>N$. \proof Ччйдх меннщ~Q, ьфпф теъхмшфбф вхдеф дплбъбо, еумй нщ унпцен рплбъбфш, юфп ухэеуфчхеф фблпе юйумп~$M$, ъбчйусэее пф~$\varepsilon$, юфп дмс чуеи~$s$ йъ йофетчбмб~$1 \le s \le 10$ й чуеи~$m > M$ уртбчедмйчщ оетбчеоуфчб \EQ[18] { \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ й } \abs{R_m(s)} < \varepsilon. } Ъобюеойе~$R_m$ оефтхдоп пртедемйфш йъ телхттеофопк жптнхмщ~\eqref[11]. Ч убнпн деме, йнеен~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, $R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ й чппвэе \EQ[19]{ R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right). } Дмс ъобюеойк~$s$ йъ хлбъбоопзп йофетчбмб ьфб жхолгйс тбчопнетоп уипдйфус л \EQ{ -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0. } Телхттеофобс жптнхмб~\eqref[11] дмс~$Q_m$ ртйойнбеф чйд \EQ[20]{ Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right), } зде \EQ[21]{ c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1. } жптнхмб дмс пвэезп юмеоб рпумедпчбфемшопуфй, пртедемсенпк телхттеофопк жптнхмпк~\eqref[20], фблце обипдйфус веъ фтхдб; обдп чщрйубфш уобюбмб чщтбцеойс дмс оеулпмшлйи ретчщи юмеопч, уппвтбъйфш, лблпчб пвэбс жптнхмб, й дплбъбфш ее рп йодхлгйй; нщ рпмхюйн, юфп \EQ[22]{ Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right). } Обн пуфбефус фпмшлп чщюйумйфш лпьжжйгйеофщ~$c_m$, лпфптще ч уймх жптнхм~\eqref[19], \eqref[21] й~\eqref[22] хдпчмефчптсаф уппфопыеойсн \EQ[23]{ \displaynarrow{ c_1 = (r-10)/9,\cr c_{m+1} = {1\over 9} \left( c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2 + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m + r \left( 1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} + \cdots + {1\over m!} \left( \ln {10 \over r} \right)^m \right) - 10 \right).\cr } } %% 279 Ьфб рпумедпчбфемшопуфш лбцефус пюеош умпцопк, пдоблп ч декуфчйфемшопуфй ее нпцоп веъ фтхдб йуумедпчбфш ртй рпнпэй ртпйъчпдсэйи жхолгйк. Рпмпцйн \EQ{ C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, . } Ччйдх тбчеоуфчб~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, нщ ъблмаюбен, юфп \EQ{ c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1 } еуфш лпьжжйгйеоф ртй~$z^{m+1}$ ч тбъмпцеойй жхолгйй \EQ[24]{ {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}. } Ьфп хумпчйе чщрпмосефус дмс чуеи ъобюеойк~$m$, фбл юфп~\eqref[24] дпмцоп тбчосфшус~$C(z)$, й нщ рпмхюбен счоха жптнхмх \EQ[25]{ C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right). } Юфпвщ ъбчетыйфш обы бобмйъ, обн обдп йъхюйфш буйнрфпфйюеулйе учпкуфчб лпьжжйгйеофпч~$C(z)$. Дтпвш ч улпвлби ч тбчеоуфче~\eqref[25] уфтенйфус ртй~$z \to 1$ л~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$, пфлхдб умедхеф, юфп \EQ[26]{ C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z) } еуфш бобмйфйюеулбс жхолгйс лпнрмелуопк ретенеоопк~$z$ ч лтхзе \EQ{ \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}. } Ч юбуфопуфй, тбъмпцеойе жхолгйй~$R(z)$ уипдйфус ртй~$z=1$, фбл юфп ее лпьжжйгйеофщ уфтенсфус л охма. Ьфп рплбъщчбеф, юфп лпьжжйгйеофщ жхолгйй~$C(z)$ чедхф уевс лбл лпьжжйгйеофщ жхолгйй~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, фбл юфп \EQ{ \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1. } Облпоег, упрпуфбчмсс ьфпф теъхмшфбф у жптнхмпк~\eqref[22], рпмхюбен, юфп $Q_m(s)$~уфтенйфус л \EQ{ 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) = \log_{10} r } тбчопнетоп об пфтеъле~$1 \le s \le 10$. \proofend Йфбл, нщ дплбъбмй ртснщн чщюйумеойен обы мпзбтйжнйюеулйк ъблпо дмс гемщи юйуем, ртйюен пдопчтенеооп пвобтхцймй, юфп, ипфс по умхцйф пюеош иптпыйн ртйвмйцеойен дмс прйубойс %% 280 хутедоеоопзп рпчедеойс, ч фпюопуфй по ойлпздб ое дпуфйзбефус. Бобмпзйюоще теъхмшфбфщ дмс дтхзйи: тбуртедемеойк вщмй прхвмйлпчбощ Х.~Жбттй й X.~Зхтчйген [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. Дплбъбфемшуфчб меннщ~Q й фептенщ~F, лпфптще вщмй ъдеуш ртйчедеощ, ртедуфбчмсаф упвпк хртпэеоощк й пвпвэеоощк чбтйбоф тбуухцдеойй, ртйобдмецбэйи Веффй Дцйо Жмеийозет [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. Дтхзпк йофетеуощк рпдипд л тбуртедемеойсн, учсъбоощн у рмбчбаэек фпюлпк, вщм ртедмпцео Ьмбопн~З.~Лпоиекнпн [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144]. \excercises \ex[13] Еумй~$u$ й~$v$---деусфйюоще юйумб у рмбчбаэек фпюлпк, йнеаэйе пдйо й фпф це ъобл, фп лблпчп, упзмбуоп фбвмйгбн Ухйой, ртйвмйцеоопе ъобюеойе четпсфопуфй фпзп, юфп ртй чщюйумеойй ъобюеойс~$u \oplus v$ ртпйъпкдеф ретерпмоеойе дтпвопк юбуфй? \ex[40] Ртпчедйфе дбмшоекыйе ьлуретйнеофщ уп умпцеойен й чщюйфбойен юйуем у рмбчбаэек фпюлпк дмс хфпюоеойс фбвмйг Ухйой. \ex[15] Обкдйфе, йуипдс йъ мпзбтйжнйюеулпзп ъблпоб, четпсфопуфш фпзп, юфп дче обюбмшоще гйжтщ деусфйюопзп юйумб у рмбчбаэек фпюлпк ухфш~"$23$". \ex[18] Ч фелуфе пфнеюеоп, юфп обюбмшоще уфтбойгщ йофеоуйчоп йурпмшъхенщи фбвмйг мпзбтйжнпч рпфтербощ ч впмшыек уфереой, юен рпумедойе уфтбойгщ. Б еумй вщ нщ тбвпфбмй чнеуфп ьфпзп у фбвмйгек \emph{бофймпзбтйжнпч,} ф.~е.~фбвмйгек, лпфптбс дмс дбоопзп ъобюеойс~$\log_{10} x$ хлбъщчбеф ъобюеойе~$x$, лблйе уфтбойгщ вщмй вщ фпздб убнщнй рпфтербоощнй? \rex[Н20] Ртедрпмпцйн, юфп чеэеуфчеоопе юйумп~$U$ тбчопнетоп тбуртедемеоп ч йофетчбме~$0 < U < 1$. Лблпчп тбуртедемеойе обйвпмее ъобюйнпк гйжтщ~$U$? \ex[22] Еумй вщ пдоп умпчп дчпйюопк ЬЧН упдетцбмп $n+1$~вйфпч, фп нщ нпзмй вщ йурпмшъпчбфш $p$~вйфпч дмс ртедуфбчмеойс дтпвопк юбуфй дчпйюощи юйуем у рмбчбаэек фпюлпк, пдйо вйф дмс ъоблб й $n-p$~вйфпч дмс рплбъбфемс. Ьфп пъобюбеф, юфп йофетчбм йънеоеойс ртедуфбчйнщи ъобюеойк, ф.~е.\ пфопыеойе обйвпмшыезп рпмпцйфемшопзп оптнбмйъпчбоопзп ъобюеойс л обйнеошыенх, рп ухэеуфчх тбчео~$2^{2^{n-p}}$. To це нбыйоопе умпчп нпцоп вщмп вщ йурпмшъпчбфш й дмс ртедуфбчмеойс \emph{ыеуфобдгбфетйюощи} юйуем у рмбчбаэек фпюлпк, чщдемйч $p+2$~вйфпч дмс дтпвопк юбуфй ($(p+2)/4$~ыеуфобдгбфетйюощи гйжт) й $n-p-2$~вйфпч дмс рплбъбфемс; фпздб йофетчбм йънеоеойс ъобюеойк вщм вщ~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, ф.~е.\ фпф це, юфп й тбошые, ртйюен у впмшыйн юйумпн вйфпч ч дтпвопк юбуфй. Нпцеф чпъойлохфш чреюбфмеойе, юфп нщ рпмхюймй юфп-фп йъ ойюезп, пдоблп хумпчйе оптнбмйъбгйй ч умхюбе пуопчбойс~$16$ умбвее ч фпн унщуме, юфп дтпвобс юбуфш нпцеф упдетцбфш охмй ч фтеи обйвпмее ъобюйнщи вйфби; фблйн пвтбъпн, ое чуе йъ $p+2$~вйфпч "ъобюбэйе". \hiddenpar Йуипдс йъ мпзбтйжнйюеулпзп ъблпоб, чщсуойфе, лблпчб четпсфопуфш фпзп, юфп дтпвобс юбуфш рпмпцйфемшопзп оптнбмйъпчбоопзп ыеуфобдгбфетйюопзп юйумб у рмбчбаэек фпюлпк йнееф ч фпюопуфй $0$, $1$, $2$ й~$3$~охмечщи обйвпмее ъобюйнщи вйфб? Пуопчщчбсуш об нбфетйбме, йъмпцеоопн ч ьфпн рхолфе, пвухдйфе чпртпу п дпуфпйоуфчби ыеуфобдгбфетйюопк уйуфенщ ч утбчоеойй у дчпйюопк. \ex[ЧН28] Дплбцйфе, юфп ое ухэеуфчхеф жхолгйй тбуртедемеойс~$F(u)$, хдпчмефчптсаэек уппфопыеойа~\eqref[5] дмс лбцдпзп гемпзп юйумб~$b\ge 2$ й дмс чуеи чеэеуфчеоощи ъобюеойк~$r$ йъ йофетчбмб~$1 \le r \le b$. \ex[Н23] Чщрпмосефус мй уппфопыеойе~\eqref[10] ртй~$m=0$ дмс уппфчефуфчхаэйн пвтбъпн чщвтбоопзп~$N_0(\varepsilon)$? \ex[ЧН24] Рхуфш~$\$---пзтбойюеообс рпумедпчбфемшопуфш чеэеуфчеоощи юйуем, фблбс, юфп ртедем~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ ухэеуфчхеф дмс чуеи~$s$ йъ йофет- %% 281 \bye