1. Общая теория относительности (Теория тяготения)

Вопрос: В чем заключается усложненный вариант теории относительности?

Под усложненным вариантом, по видимому, подразумевается общая теория относительности (ОТО). Эйнштейн (A. Einstein), как известно, пытался построить общую теорию из которой бы следовали все взаимодействия, но не преуспел. Название "Общая теория относительности" принадлежит Эйнштейну, с поэтому является неадекватным и постепенно исчезает из литературы, заменяясь на "теорию тяготения" ([2]).

Из школьного курса известны постулаты теории тяготения Ньютона. Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение тяготения и уже по этому не может быть согласована со специальной теорией относительности утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью превышающей скорость света в вакууме. Следовательно необходима более общая теория тяготения (ей и стала ОТО). В линейном приближении (относительно большие расстояния и относительно малые массы, то есть малый гравитационный потенциал $\vert\phi\vert<<c^{2}$) ОТО переходит в теорию тяготения Ньютона.

Построение ОТО Эйнштейн начал в 1907 году и закончил вместе Х.Д. Гильбертом (H.D Hilbert) в 1915. Большой вклад в развитие математического аппарата теории внес в 1908-10 годах Г. Минковский (H. Minkowski).

В основе ОТО лежит экспериментальный факт равенства инертной массы (входящей во 2-ой закона Ньютона) и гравитационной массы (входящей закона тяготения) для любого тела. Равенство инертной и гравитационной массы проявляется в том, что движение тела в поле тяготения не зависит от его массы. Следствием этого является отсутствие гравитационно нейтральных тел.

В работе, сделанной в 1907 г., Эйнштейн предложил мысленный эксперимент ([1]): Представим себе гигантский небоскреб высотой 1000 км и физик, находящегося внутри свободно падающего лифта в этом небоскребе. Физик выпускает из рук платок и часы и убеждается, что они не падают на пол лифта. Если он сообщает этим вещам толчок, то они движутся равномерно и прямолинейно, пока не столкнутся со стенками лифта. Физик приходит к выводу: я нахожусь в ограниченной галилеевой системе. Условие ограниченности необходимо для того, чтобы можно было считать, что все тела испытывают одинаковое ускорение. Но физик, наблюдающий извне за падением лифта, будет судить о вещах совершенно иначе. Он видит лифт и все, находящееся в нем движутся ускоренно в соответствии с законом тяготения Ньютона.

Этот пример показывает, что можно перейти от галилеевой системы к ускоренной, если учесть гравитационное поле. Иными словами гравитационное поле (в котором проявляется гравитационная масса) эквивалентно ускоренному движению (в котором проявляется инертная масса). Гравитационная масса и инертная масса характеризуют одно и то же свойство материи, рассматриваемое по разному (массы стоящие во 2-ом законе Ньютона и в формуле, описывающей тяготения, равны с точностью до имеющихся на данный момент экспериментальных методов измерения). Таким образом, Эйнштейн пришел к принципу эквивалентности, который он так сформулировал в своей автобиографии:

В поле тяготения (малой пространственной протяженности) все происходит так, как в пространстве без тяготения, если в нем вместо "инерциальной" системы отсчета ввести систему, ускоренную относительно нее.

Данный принцип позволяет трактовать тяготение как искривление пространственно -- временного континуума.

Тела в гравитационном поле движутся по геодезическим линиям, если на них не действуют негравитационные силы. Уравнение геодезической линии в искривленном пространстве-времени записывается в виде

$$\frac{d^{2}x^{\mu}}{ds^{2}}+\Gamma ^{\mu}_{\nu \rho} \frac{dx^{\nu}}{ds}\frac{dx^{\rho}}{ds}=0,$$ (1)

где ds -- измеряется вдоль геодезической линии, величины $\Gamma ^{\mu}_{\nu \rho}$ называются символами Кристофеля (, , меняются от 0 до 3); , , -- компонеты четырехмерного вектора пространства-времени (x⁰,x¹,x²,x³), где (x¹,x²,x³) -- обычный трехмерный пространственный вектор, а x⁰=ct (c -- скорость света, t -- время).

Искривление пространства-времени характеризуется символами Кристофеля. Если все символы Кристофеля равны 0 (соответствует отсутствию гравитационного поля), то уравнение геодезической переходит в уравнение прямой a=0, где -- ускорение тела, то есть мы получаем первый закон Ньютона. В приближении Ньютона геодезическими линиями являются прямые.

Подробно математический аппарат и выводы следствий общей теории относительности описаны в [[4]].

Одним из интересных следствий общей теории относительности является существование черных дыр. Решение уравнений Эйнштейна (1), в пустоте в случае изолированного сферически-симметричного источника поля массы M называется решением Шварцшильда. В этом случае ускорение свободного падения g имеет вид:

$$g=\frac{GM}{r^{2}\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}},$$ (2)

где G -- гравитационная постоянная, c -- скорость света, r -- расстояние до источника.

Это выражение отличается от Ньютоновского значения для ускорения корнем в знаменателе. Величина g стремится к бесконечности, когда r стремится к

$$r_{g}=\frac{2MG}{c^{2}},$$ (3)

величина r_g называется гравитационным радиусом. Сфера радиуса r_g называется сферой Шварцшильда. Вторая космическая скорость в теории Ньютона дается выражением

$$V_{2}=\sqrt{\frac{2MG}{r}}.$$ (4)

Следовательно, при r=r_g величина V₂ становится равной скорости света. Если сферическое тело массой m сожмется до размеров, меньших r_g, то свет не сможет выйти из под сферы Шварцшильда. Такие объекты получили названия черных дыр (Термин "черная дыра" был введен в 1968 г. Дж. Уилером (J.A. Wheeler)).

Гравитационный радиус Солнца км, гравитационный радиус Земли см.

Теоретическая астрофизика предсказывает возникновение черных дыр в конце эволюции массивных звезд; возможно существование черных дыр и другого происхождения. Черные дыры, по-видимому, открыты в составе некоторых двойных звездных систем.